¿Problemas de álgebra lineal?

Question

¿Existe alguna buena referencia para problemas difíciles de álgebra lineal? Porque me sigo encontrando con problemas de álgebra lineal de fácil enunciado que siento que me debe ser capaz de resolver, pero no veo ningún enfoque obvio para empezar.

He aquí un ejemplo del tipo de problema en el que estoy pensando: Sea $A, B$ sea $n\times n$ matrices, set $C = AB-BA$ demuestre que si $AC=CA$ entonces $C$ es nilpotente. (Vi este planteado en el KGS Go Server)

Idealmente, dicha referencia también contendría problemas desafiantes (y técnicas para resolverlos) sobre matrices ortogonales, matrices unitarias, definiciones positivas... con suerte, todos más difíciles que el que he escrito arriba.

Answer 1

También puede consultar la sección de álgebra lineal de AoPS .

Answer 2

Voy a aprovechar esta oportunidad para publicar mi problema favorito de álgebra lineal. Lo llamo 0 no igual a 1.

Sea A una matriz nxn 0-1 con determinante distinto de cero. Demostrar que hay un 1 en cada fila y en cada columna de A, y además hay una matriz de permutación P para que PA tiene una diagonal de todos los 1.

Sea B una matriz nxn 0-1 con determinante distinto de cero. No podemos demostrar que haya un 0 en cada fila y en cada columna, así que supongamos que B también tiene esta propiedad. ¿Existen matrices de permutación nxn P y Q tales que PBQ tiene todos los 0 en la diagonal? Si no es así, ¿qué tamaño de traza se puede garantizar?

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2012.03.03

Answer 3

Si sabe un poco de italiano, otro buen recurso es Problemas resueltos de álgebra lineal por Broglia, Fortuna, Luminati.

(Por cierto, si nunca lo has hecho, leer un libro de matemáticas en otro idioma suele ser más fácil de lo que parece a primera vista).