¿Es correcta mi prueba? (composición de funciones, subjetividad)

Question

Ejercicio. Conjuntos dados $E$ , $F$ , $G$ y funciones $g : E \to F$ suryectiva, y $f : E \to G$ . Demostrar que existe una función $h : F \to G$ tal que $f = h \circ g$ sólo si la igualdad $g(x) = g(y)$ con $x, y \in E$ implica la igualdad $f(x) = f(y)$ .

Mi estrategia fue la siguiente.

De derecha a izquierda. Supongo que $h$ existe. Entonces, si $g(x) = g(y)$ , $h(g(x)) = h(g(y))$ . Por lo tanto $f(x) = f(y)$ por definición.

De izquierda a derecha. Supongo que la igualdad $g(x) = g(y)$ con $x,y \in E$ implica la igualdad $f(x) = f(y)$ . Dado que $g$ es suryectiva, $g^{-1}(g(E)) = g^{-1}(F) = E$ . Por lo tanto $f(g^{-1}\circ g(x)) = f(x)$ [ nota : Sé que $f$ y $g$ en cualquier punto $x\in E$ tienen las mismas preimágenes, pero no sé cómo decirlo más formalmente]. Entonces puedo definir $h: F \to G$ tal que $h(x) = f\circ g^{-1}(x)$ y verifica la condición establecida.

Answer 1

Como Arturo ha escrito en el comentario $g$ no tendrá necesariamente una inversa. He aquí un ejemplo mínimo: $$E=\{0,1\}\\F=\{0\}\\G=\{0\}$$ En este caso, las tres funciones, $f,g,h$ será el mapa constante a $0$ (con diferente dominio/rango). Para mí, hay dos cuestiones en su prueba

1. Parece que sólo has utilizado la propiedad suryectiva de $g$ pero realmente no has usado tu suposición: $$g(x)=g(y)\Rightarrow f(x)=f(y)$$
2. Incluso has escrito que no puedes afirmar algo más formalmente (que realmente es la parte crítica de la prueba)

La idea de su prueba es más o menos correcta, pero tendrá que definir lo que está llamando $g^{-1}$ en una función real. Deberá elegir un representante y utilizar la función $g(x)=g(y)\Rightarrow f(x)=f(y)$ para demostrar que $h$ tiene las propiedades necesarias.