Como probablemente sepas, para cualquier función $u\in L^1_{loc} (\Omega)$ la variación total se define como $$\text{TV}(u,\Omega)= \sup \, \bigg\{ -\int_{\Omega} u\, div \phi \, dx : \phi \in C_c^{\infty} (\Omega,\mathbb{R}^N), \, \lvert \phi (x) \rvert \leq 1\, \forall x\in \Omega \bigg \}. $$ Si además $u \in C^1(\Omega)$ mediante una simple "integración por partes" y considerando la definición de derivada débil en el espacio de Sobolev $W^{1,1}$ obtenemos fácilmente $$ -\int_{\Omega} u\, div\phi\, dx = \int_{\Omega} \phi.\nabla u\, dx. $$ Sin embargo, el texto que estoy leyendo afirma que aquí, el $\sup$ sobre todo $\phi$ con $\lvert \phi \rvert \leq 1$ es $$ \text{TV} (u,\Omega)=\int_{\Omega} \lvert \nabla u \rvert\, dx. $$ Pero para mi frustración, no puedo mostrar esto. Cualquier ayuda será apreciada.
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Martin
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$\newcommand{\fbold}{\mathbf f} \newcommand{\phibold}{\boldsymbol \phi}$ Establecer $\fbold:=\nabla u$ . Usted sabe que $\fbold\in L^1(\Omega; \mathbb R^n)$ y usted pregunta si $$\tag{1} \sup\left\{ \int_{\mathbb R^n} \fbold\cdot \phibold\, dx\ \Big|\ \phibold\in L^\infty(\Omega; \mathbb R^n),\ \|\phibold\|_\infty\le 1\right\}=\|\fbold\|_1.$$ Esto es cierto, y es una consecuencia de la relación $(L^1(\Omega;\mathbb R^n))^\star = L^\infty(\Omega;\mathbb R^n)$ donde el emparejamiento de dualidad viene dado por la integral en (1).
