Te aseguro que no estás loco. No sólo la idea vale para las pilas, sino que es imposible (o al menos muy difícil) dar sentido a las pilas sin esa idea.
Si estás intentando parametrizar wigits, puedes construir un functor F(T)={familias planas de wigits sobre T}. Si hay un espacio M que merezca llamarse espacio de moduli de wigits, debe representar a F. No es sólo que los puntos de M deban corresponder a clases de isomorfismo de wigits, sino que debemos tener F(Spec ℂ)=Hom(Spec ℂ,M). Los puntos también están conectados de la manera correcta. Por ejemplo, una familia de widits sobre una curva debe corresponder a una elección de wigit para cada punto de la curva de forma continua, por lo que debe corresponder a un morfismo de la curva a M.
Ocurre que si los wigits tienen automorfismos, no hay esperanza de encontrar un objeto geométrico M tal que los mapas a M sean lo mismo que familias planas (léase "continuas") de wigits. La razón es que cualquier objeto geométrico debería tener la propiedad de que los mapas hacia él puedan determinarse localmente. Es decir, si U y V cubren T, especificar un mapa de T a M es lo mismo que especificar mapas de U y V a M que coincidan en U∩V. La jerga para esto es "los funtores representables son gavillas". Si un wigit X tiene un automorfismo, entonces puedes imaginarte una familia de wigits sobre un círculo de modo que todas las fibras sean X, pero a medida que te mueves alrededor del círculo, se "retuerce" por el automorfismo (si quieres pensar puramente algebro-geométricamente, usa una cadena circular de ℙ 1 s en lugar de un círculo). Localmente, tienes una familia trivial de wigits, por lo que el mapa debería corresponder a un mapa constante al espacio de moduli M, pero eso correspondería a la familia trivial globalmente, que esto no es. ¡Vaya!
En lugar de renunciar por completo a la esperanza, el truco consiste en sustituir el functor F por un "functor con valor de grupo" (categoría con fibras), de modo que se registren los automorfismos de los objetos. Ahora, por supuesto, no habrá un espacio que represente a F, ya que cualquier espacio representa un functor conjunto-valorado, pero resulta que esto a veces reaviva la esperanza de que F esté representado por algún mítico "objeto geométrico" M en el sentido de que los objetos en F(T) (que deberían corresponder a mapas a M) pueden determinarse localmente. Si esto es cierto, decimos que "F es un pila " o que "M es un pila ." En parte, lo que hace que tu pregunta sea delicada es que, a medida que las cosas se complican, la línea entre M y F se vuelve más difusa. En realidad, M no es otra cosa que F. Simplemente lo llamamos M y lo tratamos como un objeto geométrico porque satisface esta condición de encolado. Normalmente queremos que M sea más geométrico que eso; queremos que tenga una cubierta (en algún sentido preciso) por un espacio honesto. Si la tiene, entonces decimos que "M (o F) es un algebraico stack" y resulta que se puede hacer verdadera geometría en él.
