¿Por qué es finito el grupo de clases cartográficas de las variedades hiperbólicas?

Question

Hola! Estoy intentando entender por qué un n-manifold hiperbólico tiene grupo de clases de mapeo finito si $n \geq 3 $ . En los libros que estoy leyendo se dice que es una consecuencia del teorema de rigidez de Mostow: "Si M y N son variedades hiperbólicas completas con volumen total finito, cualquier isomorfismo de grupos fundamentales se realiza por una isometría única".

Un corolario de esto es que: " Si M es hiperbólico (completo, con volumen total finito) y $n \geq 3 $ entonces Out( $\pi_{1}(M)$ ) es un grupo finito, isomorfo al grupo de isometrías de M ".

Pero, ¿cómo podría esto resolver mi problema? Quiero decir, sé que existe el Teorema de Dehn-Nielsen que afirma que Out( $\pi_{1}(M)$ ) es isomorfo a MCG(M), pero sé que esto es cierto sólo en dimensión 2... ¿qué puedo decir en dimensión (al menos) 3? Gracias.

Answer 1

En la dimensión tres, esto se demostró mediante Gabai, Meyerhoff y N. Thurston . Hatcher lo demostró originalmente para los 3manifolds de Haken. Gabai lo extendió a los 3manifolds hiperbólicos que satisfacían una cierta condición técnica, que luego se verificó para todos los 3manifolds hiperbólicos cerrados en el artículo anterior. Gabai amplió este resultado para demostrar que $Diff(M) \simeq Isom(M)$ .

El resultado análogo en dimensiones superiores fue demostrado por Farrell y Jones (ver Teorema 5, creo que esto es sólo para dimensión $>5$ pero no se indica explícitamente). Se ofrecen pruebas aquí . No creo que las dimensiones $4$ o $5$ se han elaborado.

Answer 2

Como menciona Andy, el grupo de isometría $Isom(M)$ es isomorfo a $\pi_0 HomotopyEquiv(M)$ por la rigidez de Mostow. El isomorfismo entre $\pi_0 HomotopyEquiv(M)$ y $Out(\pi_1 M)$ es cierto para cualquier $K(\pi,1)$ -espacio, creo que esto aparece en el libro de Topología Algebraica de Hatcher, pero es esencialmente lo mismo que el argumento que has visto para superficies -- intenta comparar los dos.

Para demostrar que el grupo de isometría de una variedad hiperbólica de volumen finito es finito, hay varias maneras. Por ejemplo, consideremos las geodésicas más cortas del colector, que tienen que ser permutadas por el grupo de isometría, y luego consideremos el estabilizador de esa acción. Hay que considerar algunos casos especiales, pero es un comienzo.