Número máximo de soluciones reales de un polinomio

Question

Enunciado de la pregunta: Hallar el número máximo de soluciones reales de $ax^n+x^2+bx+c$ donde $a,b,c \in \mathbb{R}$ y $n$ es un número positivo par.

Enfoque: La derivada doble del polinomio es

$f''(x)= n(n-1)ax^{n-2}+2$

Para $a>0$ , $f"(x)$ nunca es cero para $x$ . Por lo tanto, existen como máximo 2 soluciones reales para $f(x)$ .

Realmente no se puede proceder con la $a<0$ caso.

Cualquier enfoque mejor está invitado.

PD: Perdón por el mal formato. Soy nuevo aquí.

Answer 1

Para $a<0$ y $n\ne 2$ , $f''$ tendrá exactamente dos ceros. Por lo tanto, como máximo tres raíces de $f'$ y como máximo cuatro raíces para $f$ . Se consiguen cuatro raíces, por ejemplo, para $ -\frac1{10}x^4+x^2-1$ .

Si $a=0$ o $n=2$ tenemos un polinomio cuadrático o inferior, por lo tanto a lo sumo dos raíces. La única excepción es: $n=2,a=-1,b=c=0$ lo que hace que $f$ idénticamente cero y, por tanto, incontables soluciones.