¿Argumento heurístico para el teorema de los números primos?

Question

He aquí un mal argumento heurístico para el teorema de los números primos. Sea n un número entero positivo y supongamos que el PNT se cumple hasta n. Entonces n es primo si y sólo si para cada primo p<n el suceso p|n no se cumple. Suponiendo que todos estos sucesos son independientes, la probabilidad de que n sea primo debería ser de alrededor de $\prod_{p<n}(1-1/p)$ . Menos el logaritmo de esto es aproximadamente $\sum_{p<n}1/p$ . Dado que el primo r es aproximadamente $r\log r$ (por PNT), se trata de $\sum_{r<n/\log n}1/r\log r$ que es aproximadamente $\log\log n$ . Por lo tanto, la probabilidad de que $n$ es primo es sobre $\exp(-\log\log n)$ que es $1/\log n$ .

He aquí algunas críticas al argumento anterior. El problema más flagrante es que, para que las aproximaciones sean válidas, necesitamos que nuestras estimaciones sean correctas hasta o(1), y no lo son. Por ejemplo, se sabe que $\sum_{p<n}1/p$ no es $\log\log n+o(1)$ sino más bien $\log\log n+M$ donde M es el Constante de Meissel-Mertens . Podemos dividir este fracaso en dos subfracasos. El primero es que menos el logaritmo de $\prod_{p<n}(1-1/p)$ difiere de $\sum_{p<n}1/p$ por una constante distinta de cero (más o(1)). La segunda es que menos el logaritmo de $\prod_{p<n}(1-1/p)$ difiere de $\log\log n$ por $\gamma+o(1)$ donde $\gamma$ es el Constante de Euler-Mascheroni .

El segundo problema es más devastador, ya que demuestra que la hipótesis de la independencia está seriamente viciada. (Todo lo que he dicho, por cierto, es una observación bien conocida y a menudo señalada). Mi pregunta es si, a pesar de todos estos problemas, se puede salvar algún tipo de argumento heurístico como éste. Por ejemplo, está claro que si p y q son dos números primos bastante grandes y bastante cercanos, entonces habrá una repulsión entre los sucesos p|n y q|n. ¿Podemos decir de forma heurística cuáles deberían ser los efectos de estas repulsiones y, de este modo, entender dónde está el efecto de la repulsión? $\gamma$ ¿Entra?

Para que quede claro, estoy buscando un argumento sencillo y no riguroso que no utilice la función zeta (excepto quizás haciendo uso de la fórmula del producto de forma muy elemental, pero preferiría evitarlo por completo) que prediga que si PNT se mantiene hasta n entonces la probabilidad de que n sea primo debería estar en torno a $1/\log n$ . Hago la pregunta porque estoy bastante seguro de que la respuesta será conocida, y bastante estándar, para mucha gente. Pero para mí no lo es.

Answer 1

No soy un experto en la materia, pero esto puede ser un comienzo.

En lugar de $\prod_{p\lt n}$ puede utilizar $\prod_{p\le \sqrt n}$ .

$\log\log \sqrt n + \gamma \lt \log\log \sqrt n +\log 2 = \log\log n $

Eso te acerca un poco más, ya que ahora estás fuera por $\log 2 - \gamma \approx 0.116$ .

La probabilidad heurística de que $n$ es primo no es

$$\prod_{p\lt n} (1-Pr(p|n))$$

Es el producto de probabilidades

$$\prod_{p\lt n} (1-Pr(p|n \text{ given no smaller prime divides } n))$$

Para $p$ pequeño, el término que obtenga puede ser cercano a $(1-1/p)$ , pero no es el caso de $p$ grande.

Para $\sqrt n \lt p$ el término correspondiente a $p$ en el producto es sólo $1$ .

Para $\sqrt[3]n \lt p \le \sqrt n$ si $p$ es el primo más pequeño que divide a $n$ entonces $n/p$ también debe ser de primera. Tal vez eso significa que por inducción fuerte, debemos descontar estos términos por la probabilidad $n/p$ es primo, alrededor de $1/\log \frac np$ para que los términos del producto sean $(1-1/(p \log \frac np))$ .

Parece que obtienes algunas sumas/integrales si intentas extender esto a más términos, y no sé si puedes esperar obtener la precisión deseada al final.

Answer 2

Puede consultar Courant y Robbins en la sección del final, "El teorema de los números primos obtenido por métodos estadísticos".

También hay un artículo de Montgomery y Wagon en el que mencionan la "paradoja de Mertens" y amplían el argumento de Courant y Robbins.