¿Puede extraerse la fase de una función sólo a partir de su valor absoluto y del valor absoluto de su transformada de Fourier?

Question

Si para una función $f(x)$ sólo su valor absoluto $|f(x)|$ y el valor absoluto $|\tilde f(k)|$ de su transformada de Fourier $\tilde f(k)=N\int f(x)e^{-ikx} dx$ es conocido, puede $f(x) = |f(x)|e^{i\phi(x)}$ y por tanto la función de fase $\phi(x)$ ¿se puede extraer? (con, por ejemplo $N=1/(2\pi)$ )

Como Marek ya declaró incluso no es posible de forma exclusiva para $f(x)=c\in\mathbb C$ ya que la fase global no se puede volver a determinar. Así que permítanme ampliar la pregunta a

¿En qué circunstancias es posible la recuperación de la fase (hasta una fase global) de forma exclusiva, y qué ambigüedades podrían surgir en caso contrario?

Answer 1

La respuesta corta es no. Tome la función constante $f(x) \equiv C \in \mathbb{C}$ . Sin tener en cuenta la normalización, tenemos $\hat{f} = C \delta$ (en el sentido de las distribuciones). Evidentemente, no hay forma de recuperar la fase de $C$ una vez que tomamos el valor absoluto de ambos lados.

Para hacer esto un poco más explícito, considere una versión mucho más fácil del problema en el grupo $G = \mathbb{Z} / N\mathbb{Z}$ . Su doble es $\hat{G} = G$ . Si escribes las ecuaciones de la transformada de Fourier (es decir $\hat{f}(k) = \sum_{n=0}^{N-1} f(n) \exp(-{i k n \over 2 \pi})$ ), obtendrá $2N$ ecuaciones reales para $2N$ coeficientes ( $N$ Fases de Fourier y $N$ fases originales). Las propiedades de este sistema de ecuaciones no están claras para mí, pero el caso $N=1$ (esto es lo mismo que en el primer párrafo, pero aquí no necesitamos hablar de distribuciones) ya muestra que las soluciones no tienen por qué ser únicas.

Espero que alguien más pueda aportar más información, yo también estaría interesado en ver qué condiciones en $f$ hay que asumir para obtener una solución única. Incluso para el caso $G = \mathbb{Z} / N\mathbb{Z}$ esto parece bastante interesante.

Answer 2

La forma correcta de plantear la pregunta es: dada una función $f\in L²(\mathbb{R})$ , puede $f$ se determinará a partir de $|f|$ y $|\widehat{f}|$ hasta una constante multiplicativa $c$ del módulo $|c|=1$ .

Esta pregunta se remonta a Pauli y la respuesta es no. Se pueden construir contraejemplos de la forma $a\gamma(x-x_0)+b\gamma(x)+c\gamma(x+x_0)$ con $a,b,c$ eligió correctamente ( $\gamma(x)=e^{-\pi x²}$ la gaussiana estándar para que sea su propia transformada de Fourier). Otra construcción es la siguiente:

toma $\chi=\mathbf{1}_{[0,1/2]}$ $(a_j)_{j\in\mathbb{Z}}$ una secuencia con soporte finito (para simplificar) y $f(x)=\sum_j a_j\chi(x-j)$ para que $\hat f(\xi)=\sum_j a_je^{2i\pi j\xi}\hat\chi(\xi)$ .

Ahora queremos construir una secuencia $(b_j)$ tal que $|a_j|=|b_j|$ y $\left|\sum_j a_je^{2i\pi j\xi}\right|=\left|\sum_j b_je^{2i\pi j\xi}\right|$ . Esto puede hacerse mediante un producto de Riesz: tómese $\alpha_1,\ldots,\alpha_N$ una secuencia real finita, $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_N$ una secuencia finita de $\pm1$ y considerar $$ \prod_{k=1}^N (1+i\alpha_j\varepsilon_j\sin 2\pi 3^j\xi)=\sum a_j^{(\varepsilon)}e^{2i\pi j\xi}. $$

Cambiar un $\varepsilon_j$ de $+1$ a $-1$ conjuga uno de los factores del lado izquierdo, por lo que no cambia el módulo. Ahora sucede lo mismo para el $a_j^{(\varepsilon)}$ Cada uno de ellos es $0$ o un producto de $i\alpha_j\varepsilon_j$ (hasta una constante) -- la cuestión es que no es la suma de productos de $i\alpha_j\varepsilon_j$ 's, esta es la razón por la que tomamos la $3^j$ en el seno!.

Answer 3

Haga el algoritmos numéricos habituales de recuperación de fase ¿No funciona?

Answer 4

No estoy seguro de si esto se aplica, pero para las funciones de fase mínima, la fase y la magnitud de la Transformada de Fourier están relacionadas. Véase aquí para un breve resumen. Nunca he utilizado esta relación en la práctica, así que no puedo darte mucha más información.