Curvatura y transporte paralelo

Question

He aquí una formulación actualizada de la pregunta, más precisa y, en mi opinión, totalmente correcta:

Supongamos que $M$ es una variedad riemanniana. Elija un punto $p$ en $M$ y que $U$ sea una vecindad del origen en $T_p M$ en el que $exp_p$ se restringe a un difeomorfismo. Sea $X$ y $Y$ sean vectores tangentes en $T_p M$ y que $V$ sea la intersección de $U$ y el plano abarcado por $X$ y $Y$ . Sea $c(t)$ sea una curva cerrada simple y suave en $V$ . Afirmo que para cualquier vector $Z$ en $T_p M$ ,

$R(X,Y)Z=(P_c(Z)Z)Area(c)+o(Area(c))$

donde $R$ es el tensor de curvatura de Riemann, $P_c$ es el transporte paralelo alrededor de la imagen de $c$ en $exp_p$ et $Area(c)$ es el área delimitada por la imagen de $c$ en $exp_p$ .

¿Puede alguien remitirme a una prueba de esta afirmación o algo similar? Estoy bastante seguro de que el argumento tiene algo que ver con la integración de la forma 2 de curvatura sobre la superficie incrustada obtenida restringiendo $exp_p$ a la región delimitada por $c$ pero tengo problemas con las estimaciones. Lamentablemente no encuentro nada en Kobayashi y Nimazu.

Gracias de antemano.

Paul

Answer 1

Me parece que una de las razones por las que nadie ha demostrado aún la fórmula es que ésta sigue siendo errónea. En primer lugar, la fórmula tiene que depender de $X$ y $Y$ . Si reescala $X$ y $Y$ la parte izquierda de la fórmula aumenta, pero la parte derecha permanece constante. Eso no puede ser. En segundo lugar, los dos lados de la ecuación no escalan igual bajo una escala constante de la métrica.

Advertencia: He escrito esto muy deprisa y no he comprobado si había erratas o errores. Es posible que mi fórmula final no sea correcta, pero confío en que mi argumento pueda utilizarse para obtener una fórmula correcta. Tampoco proporcioné hasta el último detalle, así que, si no estás familiarizado con un argumento como éste, tienes que esforzarte mucho para asegurarte de que todo funciona realmente. El truco clave es llevarlo todo al cuadrado de la unidad, donde se puede utilizar el cálculo elemental. Estoy seguro de que este truco puede sustituirse por el teorema de Stokes sobre el propio colector, pero eso es demasiado sofisticado para mi gusto.

Cálculo de la holonomía

AÑADIDO:

La fórmula correcta, si se parte de $|X\wedge Y| = 1$ es

$P_\gamma Z - Z = Area(c) R(X,Y)Z$

Esto se escala correctamente cuando se reescala la métrica por un factor constante. Observa que el lado izquierdo es invariante al reescalar la métrica.

Recomiendo mirar los artículos escritos por Hermann Karcher, especialmente el que escribió con Jost sobre funciones casi lineales, el que escribió con Heintze sobre un teorema de comparación generalizado y el que escribió sobre el centro de masa riemanniano. Hace mucho que no miro esto ni nada, pero tengo la impresión de que aprendí mucho sobre cómo trabajar con los campos de Jacobi y la curvatura de Riemann gracias a estos trabajos.

Por último, no te preocupes por citar nada de lo que yo haya dicho o escrito. Escribe tu propia prueba de lo que necesites. Si resulta que se parece mucho a lo que he escrito yo, no pasa nada. Yo considero todo esto "cosas estándar" que cualquier buen geómetra de Riemann conoce, aunque lo diga de forma distinta a la mía.

AÚN MÁS: Hay cálculos similares en mi trabajo con Penny Smith: P. D. Smith y Deane Yang Eliminación de singularidades puntuales de variedades riemannianas TAMS (333) 203-219, especialmente en la sección 7 titulada "Campos vectoriales radialmente paralelos". En la sección 5, atribuimos nuestro enfoque a H. Karcher y citamos referencias específicas.

Answer 2

Estas cuestiones se tratan con gran detalle en la conferencia 19 del libro "Geometría diferencial" de Postnikov. La edición original en ruso está reseñada en [MR0985587 (90h:53002)]; también hay edición en francés, pero no conozco ninguna en inglés.

Answer 3

Su fórmula para $R(X,Y)Z$ parece ser idéntica a la fórmula de la página 256 de Peter Petersen, "Riemannian Geometry", segunda edición, Springer 2006. Petersen da un esbozo de una prueba, y llama a la fórmula "caracterización de Cartan de la curvatura".

Answer 4

Creo que se llama teorema de Ambrose-Singer. Para la prueba - usted puede introducir algunas coordenadas (s,t) en el exp-imagen de plano abarcado por X e Y, y definir V(s,t) para ser paralelas a lo largo de, digamos líneas de s-coordenadas. Entonces calcula cómo cambia la derivada de V en la dirección t a lo largo de las líneas de coordenadas s: es D_s D_t V = R(X,Y)V ya que D_t D_s V \equiv 9, y los vectores de coordenadas s, t conmutan - entonces integral de D_t V (s,t) = \int R(X,Y)V - D_t V(0,t) que es tu transporte paralelo ... puede ser algo sobre esto en doCarmo Riemannian geom, o Milnor Morse theory ...

Answer 5

Pondría esto en un comentario si tuviera suficientes puntos de reputación, pero hay algo raro en tu fórmula. De las definiciones que diste, el RHS no tiene dependencia de X e Y explícitamente, pero el LHS es tensorial en X, Y. Si reemplazas X e Y por 2X y -Y, el plano abarcado por ellos será el mismo, y por lo tanto el dominio V es el mismo. Por lo tanto, el RHS no cambia y el LHS se convierte en -2 de lo que es.

Aunque puedo ver que el problema con el cambio de signo asociado al intercambio de X e Y se solucionaría si utilizases el área con signo, creo que necesitas aclarar algunas de tus definiciones para que la fórmula tenga sentido.

Para ser más precisos, el segundo término del lado derecho es pequeño, así que lo ignoraremos. El primer término es el área multiplicada por un elemento de holonomía. Por definición de transporte paralelo, $\|P_cZ - Z\| \leq 2 \|Z\|$ por la desigualdad del triángulo, por lo que para un Z fijo el lado derecho es $\lesssim Area(c)$ que si se puede hacer arbitrariamente pequeño. El lado izquierdo para $X,Y$ está, bueno, arreglado.