Demostración por contradicción con números irracionales y conjuntos

Question

Por favor, ayúdenme con la siguiente prueba. Se supone que debo usar la prueba por contradicción para resolverla.

Sea $S=\{p+q\sqrt{2}:p,q\in\Bbb Q\}$ y $T=\{r+s\sqrt{3}:r,s\in\Bbb Q\}$ Demostrar que $S\cap T=\Bbb Q$ .

Supongamos, por el contrario, que $S\cap T \not = \Bbb Q$ . Entonces, $S\cap T \not\subseteq\Bbb Q$ o $\Bbb Q\not\subseteq S\cap T$ .

Sea $S\cap T \not\subseteq\Bbb Q$ . Entonces, existe algún elemento $x$ tal que $x\in S\cap T \land x\not\in\Bbb Q$ .

$\implies x\in S\land x\in T\land x\not\in\Bbb Q \implies p+q\sqrt{2}=x=s+r\sqrt{3}, p,q,s,t\in\Bbb Q \land x\not\in\Bbb Q$

No estoy seguro de a dónde ir a partir de aquí. Sé que si dejo que $q,r=0$ entonces $p+q\sqrt{2}=x=r+s\sqrt{3}\in\Bbb Q$ lo que contradice la hipótesis de que $x\not\in\Bbb Q$ . Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea suficiente.

Para la inversa, sea $\Bbb Q\not\subseteq S\cap T$ . Entonces, existe algún elemento $x$ tal que $x\in\Bbb Q \land x\not\in S\cap T$ .

$\implies x\in\Bbb Q \land (x\not\in S \lor x\not\in T) \implies (x\in\Bbb Q \land x\not\in S) \lor (x\in\Bbb Q \land x\not\in T)$

Aquí, de nuevo, no estoy seguro de cómo continuar. Creo que tengo que demostrar que surge una contradicción tanto en el caso de que $(x\in\Bbb Q \land x\not\in S)$ y el caso de que $(x\in\Bbb Q \land x\not\in T)$ pero no estoy seguro. Similar a lo que escribí anteriormente, en ambos casos, podría dejar que $q,r=0$ lo que implicaría $x\in\Bbb Q$ y producir una contradicción, pero no sé si esto es correcto, o suficiente.

Answer 1

Supongamos, por el contrario, que $S\cap T \not = \Bbb Q$ . Entonces, existe $p+q\sqrt{2}=r+s\sqrt{3}$

$p-r=s\sqrt{3}-q\sqrt{2}$

$(p-r)^2=3s^2-2sq\sqrt{6}+2q^2$

$\sqrt{6}= ({3s^2+2q^2-(p-r)^2})/2sq$

${RHS\in\Bbb Q\,LHS \not = \Bbb Q }$

Contradicción, si no $s=q=0$

Answer 2

Nota de nomenclatura: no es una "conversa"; tienes un "o", y estás probando lo que ocurre con cada uno de los dos disyuntos. Las "conversas" son implicaciones que van en sentido contrario, que no es lo que tienes aquí.

Para la primera: tenga en cuenta que tiene $p+q\sqrt{2}=r+s\sqrt{3}$ . Obsérvese también que al menos uno de $q$ y $s$ debe ser distinto de cero (de lo contrario, tenemos un número racional). Digamos $q\neq 0$ . Entonces se puede reescribir como $$\sqrt{2} = \frac{1}{q}\left( r-p + s\sqrt{3}\right).$$ Intenta cuadrar ambos lados y mira a ver qué pasa, recordando que ninguno de los dos $\sqrt{2}$ ni $\sqrt{3}$ son racionales.

En cuanto a la otra... tenga en cuenta que si $q\in\mathbb{Q}$ entonces $q=q+0\sqrt{2}\in S$ y $q=q+0\sqrt{3}\in T$ Así que ciertamente tienen $\mathbb{Q}\subseteq S\cap T$ . Esa inclusión se mantiene.

Answer 3

Si $x\in S\cap T$ entonces $x\in \Bbb Q.$

Sea $x=p+q\sqrt 2=r+s\sqrt 3$ con $p,q,r,s\in \Bbb Q.$ Entonces $$(2x-p-r)(-r+p)=(x-p)^2-(x-r)^2=2q^2-3s^2\in \Bbb Q.$$ (i). Si $p\ne r$ entonces $x=\frac {1}{2}\left(p+r+\frac {2q^2-3s^2}{(-r+p)}\right)\in \Bbb Q.$

(ii). Si $p=r$ entonces $q\sqrt 2=x-p=x-r=s\sqrt 3,$ así que $q\sqrt 2=s\sqrt 3.$ Ahora $q=0$ implica $x=p\in \Bbb Q.$ Pero $q\ne 0$ implica $\sqrt {2/3}=s/q\in \Bbb Q,$ lo cual es imposible.