Para ser más precisos (pero menos ágiles): ¿hay algún ejemplo de un grupo $G$ con un número finito de subgrupos de índice infinito $H_1,\dots, H_n$ y elementos $k_1,\dots, k_n$ tal que $G$ es la unión de los cosets izquierdos $k_1 H_1 , ..., k_n H_n\ ?$ ¿Y si relajamos el requisito de que todos ellos sean izquierda cosets, y preguntar: ¿puede $G$ ¿es la unión de un número finito de estos cosets, siendo algunos cosets izquierdos y otros cosets derechos?
Si $G$ es susceptible entonces esto no puede suceder, ya que cualquier coset de un subgrupo de índice infinito debe tener medida $0$ . Así que esto descarta inmediatamente cualquier grupo abeliano $G$ .
He probado a jugar con los únicos grupos noamenables con los que me siento cómodo, los grupos libres en dos o más generadores. Hace unos meses creí encontrar un contraejemplo sencillo en el grupo libre sobre $\aleph_0$ generadores, pero ahora he perdido mis notas y empiezo a dudar de que alguna vez haya tenido un ejemplo así.
(Esta pregunta me la hizo un amigo que está interesado en algún tipo de aplicación a la teoría de modelos, pero creo que es interesante como enigma independiente).
