Áreas de investigación actuales de la Teoría de Grupos

Question

Estoy terminando una licenciatura en matemáticas y me apasiona la teoría de grupos. Sin embargo, actualmente mis proyectos de investigación se centran sobre todo en la teoría de anillos (ya que en mi universidad no hay teóricos de grupos).

Por lo tanto, realmente no sé cómo hacer para conocer más problemas a nivel de investigación en teoría de grupos: las grandes áreas, las grandes cuestiones abiertas, etc. Tengo miedo de comprometerme con un título de posgrado sólo para acabar arrepintiéndome más tarde.

Eché un vistazo a la sección "Group Theory" de ArXiv, pero realmente no me ayudó a hacerme una idea general, especialmente en lo que se refiere a los aspectos algebraicos de la teoría (muchos artículos eran de naturaleza mucho más geométrica, lo que no me agrada mucho, personalmente).

En resumen, ¿cuáles son las grandes áreas actuales de la teoría de grupos? ¿Y a qué problemas intentan dar respuesta?

Gracias de antemano.

Answer 1

Si no te gusta la geometría, quizá la teoría de grupos no sea para ti. En su origen, la teoría de grupos está estrechamente relacionada con cómo actúan sobre los espacios. La acción de grupo es una poderosa herramienta para estudiar tanto el espacio como el grupo. Y sigue siendo así hoy en día.

Teoría geométrica de grupos es un campo de investigación relativamente nuevo y extremadamente activo, que ya no puede distinguirse de teoría combinatoria de grupos . Incluso los problemas de naturaleza puramente algebraica/discreta/computacional, tales como el problema Burnside o la decidibilidad de el problema de las palabras puede ser iluminada por una geometría (continua). Hay montones de problemas sin resolver en este campo. Esta rama también está estrechamente relacionada con la topología, las álgebras de operadores, la probabilidad y la teoría ergódica, etc., donde prácticamente la conjetura de Haken (resuelto) y Conjetura de Baum-Connes (ampliamente abiertos) son algunas de las cosas más importantes.

La teoría de grupos algebraicos es también un área de investigación activa, que debe considerarse como parte de la geometría algebraica y la teoría de Lie. La estructura, los puntos racionales y las representaciones de grupos algebraicos están estrechamente relacionados con problemas de la teoría de números, en particular con el programa de Langlands. Pero esto es bastante complicado, requeriría aún más teoría de anillos y rara vez se considera parte de la "teoría de grupos". Sin embargo, este tipo de matemáticas suele ser argumentativamente más "algebraico", si eso es lo más importante para ti.

Dicho todo esto, la (teoría) de grupos es omnipresente en las matemáticas modernas. Apenas hay matemáticas puras o libres de grupos. No puedes tener demasiados prejuicios sobre lo que te gusta hasta que lo intentas.

Answer 2

La teoría de grupos forma parte de muchas áreas de investigación, como ya se ha mencionado. Si prefiere los métodos algebraicos, los grupos algebraicos, las álgebras de Lie, la teoría de representaciones y la teoría de números son áreas de investigación activas relacionadas con la teoría de grupos.

Para los grupos y las álgebras de Lie, la Correspondencia con Lazard proporciona un vínculo entre $p$ -grupos y anillos de Lie y álgebras de Lie. Por ejemplo, el trabajo de Zelmanov sobre el problema restringido de Burnside para grupos utiliza mucho álgebra de Lie y teoría del álgebra de Jordan.

Para los grupos y la teoría de números, hay muchos enlaces. Por poner sólo un ejemplo, la cohomología de grupos se utiliza mucho en teoría de números, por ejemplo, la cohomología de Galois. Pero hay muchos más vínculos. Y como ejemplo de un resultado famoso, el Conjetura de Oppenheim fue demostrada originalmente por Margulis utilizando la teoría ergódica y la teoría de grupos.

Answer 3

Panorama general de la teoría de grupos, intente
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20 Teoría de grupos y generalizaciones