Definición intuitiva de la franja de Lie a partir de los flujos de desplazamiento

Question

Estoy leyendo "Teoría del control desde el punto de vista geométrico" de Agrachev. Él comenta:

"Es natural sugerir que un término de orden inferior en la expansión de Taylor de $(1.12)$ en $t = s = 0$ es responsable de los desplazamientos propiedades de los flujos de los campos vectoriales VI, V2 en el punto q".

¿Por qué es natural? ¿Y por qué está claro que las derivadas de primer y segundo orden no mixtas son inútiles? Escribí la expansión de Taylor y no me quedó claro:

$$\gamma(t,s)= \gamma(0,0)+V_2(q)s+\frac{\partial^2 \gamma }{\partial s \partial t}(0,0)ts+ V_2(P_2(q))s$$

Answer 1

En cuanto a "es natural sugerir", puede leerse como "yo sugiero". O puede leerse como "si es IS explicado por términos de orden inferior, sería terrible pasarlo por alto". Como alternativa, puedes pensar en las muchas otras situaciones que conoces en cálculo en las que una magnitud geométrica se explica mediante derivadas de orden inferior: velocidad; aceleración; curvatura; etc.

Pero, la mejor razón para que sea "natural" que los términos de orden inferior expliquen la conmutatividad es entender realmente por qué los términos de orden inferior explican la conmutatividad.

Y en cuanto a eso, la expresión $V_2(q)$ para el valor de $\frac{\partial\gamma}{\partial s}$ en $t=s=0$ es independiente de $V_1$ así que ¿cómo puede eso decirnos algo sobre la interacción entre $V_1$ y $V_2$ ? Del mismo modo, la expresión $\frac{\partial}{\partial s}|_{s=0} V_2(P_2^s(q))$ también es independiente de $V_1$ por lo que es inútil por la misma razón.

Así, de todos los términos de primer y segundo orden, el único que depende de ambos $V_1$ y $V_2$ es el segundo parcial mixto.

Answer 2

Si quieres aprender la intuición que hay detrás de los conceptos de geometría diferencial, te sugiero que le eches un vistazo a "Applied Differential Geometry" de William Burke.

A mucha gente no le gusta el libro porque es demasiado intuitivo. En mi opinión, se equivocan. Léalo y compruébelo usted mismo.