¿Existen mapas "suryectivos" de grado cero?

Question

¿Existe un mapa $f\colon X \to Y$ de objetos cerrados, conexos, lisos y orientables $n$ -tales que el grado de $f$ es 0 pero $f$ no es homotópico a un mapa no subjetivo?

Añadido : La motivación es: Existe una "versión suave" de la conjetura Langrangiana Cercana que afirma que: cualquier colector Lagrangiano exacto $X \to T^*Y$ tiene grado distinto de cero cuando se compone con la proyección $T^*Y \to Y$ . Se sabe que el mapa es siempre suryectivo. Estoy viendo un posible entre medias se afirma que el mapa no puede ser homotópico a un mapa no-surjetivo.

Answer 1

Es un teorema de H. Hopf que un mapa entre n-manifolds conexos, cerrados y orientables de grado 0 es homotópico a un mapa que pierde un punto, cuando n > 2. Véase D. B. A. Epstein, The degree of a map. Proc. London Math. Soc. (3) 16 1966 369--383, para una discusión "moderna" que incluye la situación análoga en el caso no orientable. El mismo resultado es válido para n = 2, pero es más difícil y se debe a Kneser. Véase Richard Skora, The degree of a map between surfaces. Math. Ann. 276 (1987), no. 3, 415--423, para una discusión completa del caso no orientable en dimensión 2.