No he hecho aritmética durante los últimos años, así que estoy rellenando los huecos antes de empezar matemáticas en un mes, por lo que tengo poca comprensión de los números. Me he encontrado con esa laguna al operar con fracciones. Por lo que veo, podría precisar el tema de la pregunta en cuanto a por qué utilizar el mínimo común denominador para aplicar las operaciones de suma/resta a los términos fraccionarios de una expresión - en la relación entre el GCD y el LCM, está bien tal como yo lo percibo, puedo investigar más. Pero el escollo sigue siendo ¿por qué estamos obligados a utilizar el MCL como MCD? ¿Por qué no otro múltiplo común?
He aquí un ejemplo, supongamos una expresión $$\frac{a}{bc}+\frac{d}{be}$$
La pantalla LCD se define como $lcd(b,c,e):=b\cdot c\cdot e=:lcm(b,c,e)$ ya que no podemos factorizar estas variables. He aquí una error , gracias @ J. W. Perry por señalarlo, esta es la definición correcta a la que me refiero: $$lcd(b,c,e):=\frac{b\cdot c\cdot e}{gcd(c,d,e)}=:lcm(b,c,e)$$
Que comúnmente se afirma que es equivalente a la LCM. Aunque sin ninguna referencia a por qué es así, que yo sepa.
Así que parece que mi pregunta en realidad se ramifica en dos:
- Por qué $LCD\equiv LCM$ como se ha explicado anteriormente, y
- ¿Es el varios ¿en la noción de MCL un concepto estricto, es decir, que requiere que no factoricemos los operandos? - Como intento concretar en el siguiente párrafo:
¿Por qué no podríamos suponer legítimamente que un divisor común "correcto" (hablando desde mi perspectiva: lo que es aceptable por la facultad, aún no puedo razonar lo que es matemáticamente correcto) es, digamos, $\bf{b}$ como en esta expresión:
$$\frac{\frac{a}{c}+\frac{d}{e}}{b}$$
Me refiero a los ejemplos triviales: $lcm(4,6)=12$ (1) y $lcm(2,3)=6$ (2) donde el coeficiente de $2$ permanece estable, es obvio que el número resultante en (2) es menor por el factor por el que se dividieron ambos argumentos. Que por un lado, por el otro, el resultado en (2) es incorrecto en comparación con (1) si se deja sin multiplicar por ese factor y la tarea es encontrar el LCM de 4 y 6.
Tengo la sensación de que hay algún teorema bien entendido en la teoría de números que afirmaría algo así como que el denominador en una división de dos operandos cualesquiera debe ser el LCM. Si es así, me encantaría ver la argumentación que hay detrás para entender por qué es así, creo que el nombre y la fuente lo harían.
Así que si alguien pudiera, por favor, arrojar luz sobre esa identidad, y si es posible, también, decir si efectivamente hay una relación entre una fracción aritmética con un LCD y la noción numérica del MCI y el DGC o que estoy siguiendo una pista equivocada o inútil, se lo agradecería mucho. También sería útil una simple referencia a alguna monografía.
Edita1: Un intento de concretar
Me temo que no puedo explicar claramente lo que quiero decir, tal vez el motivo sea mi falta de conocimientos en este campo y quizá el vínculo sea más obvio de lo que creo. Así que permítanme tratar de mostrarles cómo llegué a esta pregunta a partir del ejemplo específico que primero resolví erróneamente:
$$\frac{x-2}{x(x-1)^2 (x+1)}+\frac{2}{x(x-1)(x+1)^2 }$$
La tarea es encontrar la lcd aquí. Mi primera toma fue dividir y multiplicar--como lo hace J. W. Perry refiriéndose al comentario de abiessu--el primer subtérmino por $x(x-1)^2$ y el segundo por $x(x^2-1)$ podríamos plantear que entonces $x\ne\{-1,0,1\}$ pero está más allá de la cuestión. Esto nos llevaría a una representación casi simplificada de esa fracción:
$$\frac{\frac{x-2}{x(x-1)^2}+\frac{2}{x(x^2-1)}}{x+1}$$
Al final hemos simplificado el denominador introduciendo una fracción en el numerador. Hemos encontrado un denominador común. Pero ahora:
-
¿Es este denominador común el menor si se considera aislado de la modificación del numerador?
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¿Es aceptable este fraccionamiento del numerador desde el punto de vista de la fracción total? O dicho de otro modo ¿De qué principio se deriva la necesidad de simplificar una fracción? ¿O es sólo una convención?
a) Si es así, entonces--como en este caso--deberíamos querer simplificar directamente sólo el denominador común como lo hice yo, o
b) ¿es decisivo el número de operaciones que se dejan sin hacer?
c) ¿O se trata más bien de una atractiva elegancia visual?
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Si nos interesa el lcd, ¿es siempre el lcm, y si es así por qué? Tiendo a creer que esto tiene que ver con la teoría en torno a los primos como enteros atómicos.
Entiendo que existe una identidad numérica entre $\frac{1}{4}\text{and}\frac{256}{1024}$ si se "convierte" a la representación decimal o, bien, se divide y multiplica por $256$ lo que no cambia la relación en el cociente . Con el tiempo me he vuelto adicto a las cadenas de derivación coherentes en la argumentación, así que estoy tratando de encontrarlas aquí.
Como ves, sólo intento averiguar un principio o una regla que nos diga que debemos aplicar exactamente este algoritmo de simplificación y alguna regla que establezca que debemos simplificar (esto último parece más bien una convención).
Esa expresión en negrita me parece una definición intuitiva del gcd. Si es así, parece que efectivamente gira en torno a estos conceptos. Siento no poder explicar lo que intento entender en términos adecuados. Voy a coger un libro de numerica a ver que puedo digerir en este momento. A lo mejor resulta que el enlace es obvio o ya se ha contestado aquí, entonces marcaré inmediatamente la respuesta como aceptada. ¡Gracias por todas las respuestas y comentarios hasta ahora!
Edición2: por qué la modificación del numerador
Me atrae por lo que abiessu escribe en su comentario a la respuesta de J.W.Perry asumir que $$lcm(a,b)=clcm(a/c,b/c)$$ puede ser correcta ya que si $lcm(bc,be)=b\cdot lcm(c,e)$ también podríamos asumir que, el factor común aquí, $b$ se sustituye allí por el factor común, $\frac{c}{c}$ . Esto a su vez explicaría la expansión del numerador. ¿Suena al menos sensato?
Tío, esto es como vadear en la oscuridad y golpearse la cabeza contra conceptos que no puedes comprender. :)
