¿Qué es un "Estado"?

Question

He estado trabajando con el modelado Estado-Espacio en R utilizando el paquete KFAS y estoy un poco confundido en cuanto a qué es exactamente un "Estado" .

Sé que en la modelización del espacio de estados, tenemos una ecuación de observación y una ecuación de estado, tengo una comprensión general de la ecuación de observación pero no exactamente de la ecuación de estado.

Para poner un poco de contexto en lo que estoy tratando de hacer uso de este modelado ... Tengo una serie temporal de 2160 puntos de datos y unos 5 predictores diferentes. Utilizando el paquete KFAS, quería construir un modelo de espacio de estados para poder trazar el cambio en los coeficientes beta de los predictores a lo largo del tiempo.

Para ello, he utilizado un suavizador de Kalman para obtener las estimaciones "filtradas" de los estados y, a continuación, las he representado gráficamente. Sin embargo, no estoy seguro de si lo que he hecho es lo que estaba tratando de obtener .. Lo que me lleva de nuevo a estar confundido acerca de lo que es exactamente un "estado" y lo que realmente estoy trazando aquí Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

Un Estado puede ser o representar cualquier cosa. Hay demasiados ejemplos como para hacer justicia a su generalidad. Para ti, basta con que sea una cadena de Markov de espacio de estados continuo. Eso debería sonar bastante abstracto.

Parece que estás utilizando modelos lineales dinámicos. Si es así, su estado representará un coeficiente variable en el tiempo. Será como un modelo de regresión lineal, sólo que sus coeficientes podrán variar con el tiempo de forma aleatoria.

Para ello utilicé un Suavizador de Kalman para obtener las estimaciones "filtradas" de los estados y luego los trazó.

Esto no es correcto. Un suavizador te da estimaciones suavizadas de los estados, mientras que un filtro te da estimaciones filtradas de tus estados. Más sobre esto en el siguiente párrafo.

Sin embargo, no estoy seguro de si lo que he hecho es lo que estaba tratando de obtener

Depende de su aplicación. Si desea utilizar toda una ventana de datos observados $y_1, \ldots, y_T$ para estimar sus estados $x_1, \ldots, x_T$ entonces se utiliza un alisador. Esto es más preciso que el filtrado, sin embargo, está utilizando datos que no habría tenido en ciertos momentos. Un suavizador le dará la distribución de probabilidad $p(x_{1:T}|y_{1:T})$ o en el caso marginal $p(x_t|y_{1:T})$ para $t=1,\ldots,T$ . Si traza las medias a lo largo del tiempo de esta distribución, verá cómo cambian sus coeficientes/estados.

Sin embargo, si se utiliza un filtro, se obtiene la secuencia de distribuciones $p(x_{1:t}|y_{1:t})$ o $p(x_t|y_{1:t})$ para $t=1,\ldots,T$ . Obsérvese que estas secuencias sólo utilizan información hasta el periodo de tiempo más reciente. Las distribuciones de filtrado no permiten mirar hacia delante. Sin embargo, suelen ser menos precisas que las distribuciones de suavizado, en el sentido de que tienen mayor varianza.

Y por cierto, todo esto supone que conoces los parámetros de varianza de tu modelo.

Answer 2

Variables de estado y propiedad de Markov

Un proceso estocástico satisface la Propiedad de Markov si el pasado es independiente del futuro dado el estado actual del sistema.

En los modelos dinámicos, en los modelos de series temporales, lo que se denomina variables de estado suele ser un conjunto mínimo de variables que capturan suficiente información para que se cumpla la propiedad de Markov. La propiedad de Markov es una propiedad muy deseable para la modelización.

Ejemplos:

1. Seguimiento de cohetes

   • Nuestras variables de estado aquí pueden ser la posición del cohete (x, y, cabeceo, guiñada...), el vector velocidad, el nivel de combustible, etc...

2. Un simple AR(2):

   • Imaginemos que tenemos el modelo simple AR(2) $y_{t+1} = b_0 + b_1 Y_{t} + b_2 Y_{t-1} + \epsilon_t$ . Se podría definir $X_t = \begin{bmatrix} Y_t \\ Y_{t-1} \end{bmatrix}$ como variable de estado.

3. Macroeconomía simple, modelo de crecimiento neoclásico

   • Puede que tengas el nivel de capital $K_t$ y productividad $A_t$ como variables de estado.

Las variables de estado suelen ser un conjunto mínimo de variables, de modo que la información adicional sobre el pasado o el presente sería irrelevante. Captan el estado estado del sistema.