Dada la ecuación recursiva :
Fn+Fn−1++F0=3n,n≥0Fn+Fn−1++F0=3n,n≥0
Una solución rápida que se me ocurre es colocar n−1n−1 en lugar de nn , y entonces obtendremos :
Fn−1+Fn−2++F0=3n−1Fn−1+Fn−2++F0=3n−1
Ahora restando ambas ecuaciones :
Fn+Fn−1++F0−(Fn−1+Fn−2++F0)=3n−3n−1Fn+Fn−1++F0−(Fn−1+Fn−2++F0)=3n−3n−1
Fn=3n−3n−1Fn=3n−3n−1
¿Pero cómo puedo hacerlo utilizando funciones generadoras? ¿Alguna pista?
Gracias
Defina f(z):=∑Fnznf(z):=∑Fnzn y g(z):=∑zn=11−zg(z):=∑zn=11−z . Puede ver ∑nk=0Fk∑nk=0Fk como coeficiente de f(z)g(z)f(z)g(z) dans le nn -término. Así obtenemos f(z)g(z)=∞∑k=03nzn.f(z)g(z)=∞∑k=03nzn. De aquí obtenemos f(x)=1−z1−3z=13+2311−3z=1+∑∞k=1233kzkf(x)=1−z1−3z=13+2311−3z=1+∑∞k=1233kzk . El coeficiente de esto es su F_n.
La forma de pensar sobre estas dos funciones ff y gg es escribir n∑k=0Fkn∑k=0Fk como n∑k=0FkGn−kn∑k=0FkGn−k que es el coeficiente de un producto de dos series. En este caso necesitamos Gk=1Gk=1 . Por ello, las dos funciones deben ser las ff y gg arriba.
Así que, sí, multiplica ambos lados por znzn (o z−nz−n o a veces zn/n!zn/n! ou zn/nzn/n depende de la recurrencia las funciones generadoras que van a ser útiles) suman para todo nn . A ambos lados se obtienen unas series. El truco es escribirlas en términos de funciones conocidas y f(z)f(z) . Hay algunas operaciones conocidas sobre series que tienen fácil traducción en operaciones sobre la función. Ver aquí .
También hay un sitio muy bueno y gratuito (!) Libro .
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