Radio de convergencia de $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{n}{n^{2}\sqrt{n} + 1}x^{n}$

Question

Se supone que debo encontrar donde la serie de potencia:

$$\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{n}{n^{2}\sqrt{n} + 1}x^{n}$$ convergen absolutamente, convergen condicionalmente y donde divergen. Mi libro sólo muestra cómo encontrar el radio de convergencia utilizando la prueba de la relación. Así que lo probé:

$$\lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{(n + 1)(n^{2}\sqrt{n} + 1)}{n((n + 1)^{\frac{5}{2}} + 1)}\right|$$

Pero estoy atascado aquí, incluso ampliando esto más, no sé cómo encontrar este límite (aunque sé que es $1$ ).

Otra pista que obtuve para resolver este problema fue utilizar el resultado que encontré en la tarea anterior, donde descubrí que $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{n}{n^{2}\sqrt{n} + 1}$ diverge utilizando la prueba de comparación: $\frac{n}{n^{2}\sqrt{n} + 1} < \frac{1}{n^{3 / 2}}$ .

Entonces, ¿cómo puedo encontrar este radio de convergencia? ¿Cómo puedo utilizar el resultado que he encontrado?

Answer 1

El límite $$\lim_{n\to\infty}\frac{(n + 1)(n^{2}\sqrt{n} + 1)}{n((n + 1)^{\frac{5}{2}} + 1)}$$ es igual a $1$ porque es básicamente el límite de $\frac{n^{7/2}}{n^{7/2}}$ . Por lo tanto, el radio de convergencia es $1$ .