Hola a todos Me gustaría si alguien me pudiera dar una explicación de algunos puntos de la siguiente prueba, explícitamente los puntos con asterisco. Esto es de Dudley, una dirección es completamente fácil, sólo pongo lo que tengo problemas para entender. Gracias de antemano por vuestra ayuda :)
(Arzela Ascoli) Let (K,e) sea un espacio métrico compacto y \mathcal{F}\subset C(K) (donde C(K) son las funciones continuas de K a \mathbb{R} ). Entonces \mathcal{F} está totalmente limitada por d_{sup} si está uniformemente acotada y es equicontinua.
( \Leftarrow ) Dejemos \mathcal{F} sea uniformemente acotada y equicontinua, por tanto uniformemente equicontinua. Sea |f(x)|\le M<\infty para todos f\in \mathcal{F} y x\in K . Entonces [-M,M] es compacta. Sea \mathcal{G} sea el cierre de \mathcal{F} en la topología del producto \mathbb{R}^K . Entonces \mathcal{G} es compacto por el teorema de Tychonoff (*) . Para cualquier \varepsilon>0 y x,y\in K , \{f\in \mathbb{R}^K: |f(x)-f(y)|\le \varepsilon\} está cerrado (*^2) . Así que si e(x,y)<\delta implica |f(x)-f(y)|\le \varepsilon para todos f\in \mathcal{F} lo mismo ocurre con todos los f\in \mathcal{G} (*^3) . Así \mathcal{G} también es uniformemente equicontinua.
Sea \mathcal{U} cualquier ultrafiltro en \mathcal{G} . Entonces \mathcal{U} converge para la topología del producto a algún g\in \mathcal{G} . Dado \varepsilon>0 Toma \delta>0 de forma que siempre que e(x,y)<\delta,\,|f(x)-f(y)|\le \varepsilon/4 para todos f\in \mathcal{G} . Tomemos un conjunto finito S\subset K tal que para cualquier y\in K , e(x,y)<\delta para algunos x\in S . Sea
U=\{f: |f(x)-g(x)|< \varepsilon/3 \text{ for all } x\in S\}
Entonces U está abierto en \mathbb{R}^K (*^4) Así que U\in \mathcal{U} . Si f\in U entonces |f(y)-g(y)|< \varepsilon para todos y\in K Así que d_{sup}(f,g)\le \varepsilon . Así \mathcal{U}\to g para d_{sup} . Así que \mathcal{G} es compacto para d_{sup} Por lo tanto \mathcal{F} está totalmente acotada.
Para (*) Creo que es sencillo porque \mathcal{G}\subset [-M,M]^K esta última es compacta y la primera es cerrada. Pero para el otro tengo problemas para visualizar los conjuntos cerrados y abiertos.