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Arzela Ascoli, ayuda a comprender algunos puntos de la prueba.

Hola a todos Me gustaría si alguien me pudiera dar una explicación de algunos puntos de la siguiente prueba, explícitamente los puntos con asterisco. Esto es de Dudley, una dirección es completamente fácil, sólo pongo lo que tengo problemas para entender. Gracias de antemano por vuestra ayuda :)

(Arzela Ascoli) Let (K,e) sea un espacio métrico compacto y \mathcal{F}\subset C(K) (donde C(K) son las funciones continuas de K a \mathbb{R} ). Entonces \mathcal{F} está totalmente limitada por d_{sup} si está uniformemente acotada y es equicontinua.

( \Leftarrow ) Dejemos \mathcal{F} sea uniformemente acotada y equicontinua, por tanto uniformemente equicontinua. Sea |f(x)|\le M<\infty para todos f\in \mathcal{F} y x\in K . Entonces [-M,M] es compacta. Sea \mathcal{G} sea el cierre de \mathcal{F} en la topología del producto \mathbb{R}^K . Entonces \mathcal{G} es compacto por el teorema de Tychonoff (*) . Para cualquier \varepsilon>0 y x,y\in K , \{f\in \mathbb{R}^K: |f(x)-f(y)|\le \varepsilon\} está cerrado (*^2) . Así que si e(x,y)<\delta implica |f(x)-f(y)|\le \varepsilon para todos f\in \mathcal{F} lo mismo ocurre con todos los f\in \mathcal{G} (*^3) . Así \mathcal{G} también es uniformemente equicontinua.

Sea \mathcal{U} cualquier ultrafiltro en \mathcal{G} . Entonces \mathcal{U} converge para la topología del producto a algún g\in \mathcal{G} . Dado \varepsilon>0 Toma \delta>0 de forma que siempre que e(x,y)<\delta,\,|f(x)-f(y)|\le \varepsilon/4 para todos f\in \mathcal{G} . Tomemos un conjunto finito S\subset K tal que para cualquier y\in K , e(x,y)<\delta para algunos x\in S . Sea

U=\{f: |f(x)-g(x)|< \varepsilon/3 \text{ for all } x\in S\}

Entonces U está abierto en \mathbb{R}^K (*^4) Así que U\in \mathcal{U} . Si f\in U entonces |f(y)-g(y)|< \varepsilon para todos y\in K Así que d_{sup}(f,g)\le \varepsilon . Así \mathcal{U}\to g para d_{sup} . Así que \mathcal{G} es compacto para d_{sup} Por lo tanto \mathcal{F} está totalmente acotada.

Para (*) Creo que es sencillo porque \mathcal{G}\subset [-M,M]^K esta última es compacta y la primera es cerrada. Pero para el otro tengo problemas para visualizar los conjuntos cerrados y abiertos.

2voto

MrTuttle Puntos 1116

Para (\ast) piensas correctamente. [-M,M]^K es compacta por el teorema de Tíjonov, y como \mathcal{G} es por definición un subconjunto cerrado de aquél, también es compacto.

Para (\ast^2) : El mapa \eta_{x,y} \colon f\mapsto (f(x),f(y)) de [-M,M]^K \to \mathbb{R}^2 es continua, por lo que

\{ f \in [-M,M]^K : \lvert f(x) - f(y)\rvert \leqslant \varepsilon\} = \eta_{x,y}^{-1}(\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 : \lvert u-v\rvert\leqslant\varepsilon\})

está cerrado en [-M,M]^K como la preimagen de un conjunto cerrado bajo un mapa continuo para cualesquiera dos x,y\in K .

Para (\ast^3) : La intersección de conjuntos cerrados vuelve a ser cerrada, por lo que

C(\varepsilon,\delta) := \bigcap_{e(x,y) < \delta} \eta_{x,y}^{-1}(\{(u,v)\in\mathbb{R}^2 : \lvert u-v\rvert\leqslant\varepsilon\})

es un subconjunto cerrado de [-M,M]^K para dos \delta,\varepsilon > 0 . Ahora bien, puesto que \mathcal{F} es equicontinuo, para cada \varepsilon > 0 hay un \delta > 0 tal que \mathcal{F} \subset C(\varepsilon,\delta) . Por lo tanto, también \mathcal{G} = \overline{\mathcal{F}} \subset C(\varepsilon,\delta) . Y eso significa \mathcal{G} es (uniformemente) equicontinua.

Para (\ast^4) : U es la intersección de un número finito de conjuntos de la forma \pi_x^{-1}\bigl((g(x)-\varepsilon/3,g(x)+\varepsilon/3)\bigr) donde \pi_x \colon f \mapsto f(x) es una proyección de coordenadas. Las proyecciones de coordenadas son continuas, por lo tanto estos conjuntos son abiertos, y las intersecciones finitas de conjuntos abiertos son abiertas. Por tanto, U es abierta en la topología del producto. Por lo tanto, es una vecindad de g y, por tanto, pertenece a todos los filtros que convergen a g .

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