Evaluación del límite (función seno iterado)

Question

El límite es

$$\lim_{x\rightarrow0} \frac{x-\sin_n(x)}{x^3},$$

donde $\sin_n(x)$ es el $\sin(x)$ función compuesta por sí misma $n$ tiempos:

$$\sin_n(x) = \sin(\sin(\dots \sin(x)))$$

Para $n=1$ el límite es $\frac{1}{6}$ , $n=2$ el límite es $\frac{1}{3}$ y así sucesivamente.

¿Podemos definir una relación recurrente sobre esa hipótesis dada? Además, ¿cómo involucrar a $n$ en el cálculo, porque el límite final dependerá de ello?

¿Alguna sugerencia sobre cómo abordar esto?

Gracias.

Answer 1

Es casi obvio que el límite es $n/6$ . Podemos escribir $$x - \sin_{n} x = (x - \sin x) + (\sin x - \sin_{2}x) +\cdots + (\sin_{n-1}x - \sin_{n}x)\tag{1}$$ y al dividir por $x^{3}$ cada término tiende a $1/6$ .

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Explicación : Desde $\sin x \to 0$ como $x \to 0$ se deduce (sustituyendo repetidamente $x$ con $\sin x$ ) que $\sin_{n} x \to 0$ como $x \to 0$ para todos los enteros $n > 0$ . De nuevo tenemos el límite fundamental $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1\tag{2_1}$$ Sustitución de $x$ por $\sin x$ repetidamente obtenemos el siguiente conjunto de evaluaciones de límites \begin {align} \lim_ {x \to 0} \frac { \sin_ {2}x}{ \sin x} &= 1 \tag {2_2} \\ \lim_ {x \to 0} \frac { \sin_ {3}x}{ \sin_ {2} x} &= 1 \tag {2_3} \\ \cdots &= \cdots\notag\\ \lim_ {x \to 0} \frac { \sin_ {n}x}{ \sin_ {n - 1} x} &= 1 \tag {2_n} \end {align} Multiplicando todas las ecuaciones anteriores obtenemos $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin_{n}x}{x} = 1,\, n > 0\tag{3}$$ Utilizando la regla de L'Hospital sabemos que $$\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^{3}} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{3x^{2}} = \lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos^{2} x}{3x^{2}(1 + \cos x)} = \frac{1}{6}\lim_{x \to 0}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}} = \frac{1}{6}\tag{4_1}$$ Sustitución de $x$ con $\sin_{n - 1}x$ (también definir la notación $\sin_{0}x = x$ ) en la ecuación anterior obtenemos $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin_{n - 1}x - \sin_{n}x}{\sin_{n - 1}^{3}x} = \frac{1}{6}\tag{4_2}$$ y por lo tanto utilizando $(3)$ obtenemos $$\lim_{x \to 0}\frac{\sin_{n - 1}x - \sin_{n}x}{x^{3}} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin_{n - 1}x - \sin_{n}x}{\sin_{n - 1}^{3}x}\cdot\frac{\sin_{n - 1}^{3}x}{x^{3}} = \frac{1}{6}\tag{4_3}$$ para todos los enteros $n > 0$ donde por definición $\sin_{0}x = x$ . Por lo tanto, $$\lim_{x \to 0}\frac{x - \sin_{n}x}{x^{3}} = \sum_{k = 1}^{n}\lim_{x \to 0}\frac{\sin_{k - 1}x - \sin_{k}x}{x^{3}} = \sum_{k = 1}^{n}\frac{1}{6} = \frac{n}{6}\tag{5}$$ En problemas rutinarios como estos no tiene mucho sentido utilizar herramientas avanzadas como las series de Taylor cuando la respuesta se obtiene instantáneamente utilizando teoremas básicos del "álgebra de límites". Lamentablemente la tendencia en MSE es tratar a Taylor y LHR como el santo grial de los límites y aplicarlos en casi cualquier problema de límites (por muy trivial que sea en la realidad). Para un problema digno de estas herramientas avanzadas, véase esta pregunta .

Answer 2

Pista: La serie de Taylor sugiere que $$\sin_n x=x-\frac{n}{3!}x^3 +o(x^3)$$ Intenta demostrarlo por inducción.

Answer 3

Esto no es una respuesta, pero es demasiado largo para un comentario.

Siendo el problema realmente interesante, he intentado tener una información extra: ¿cómo se aborda el límite?

Haciendo casi lo mismo que en las respuestas y comentarios de Paramanand Singh y Vim, utilicé un término extra para la serie de Taylor de $\sin(x)$ y llegar a $$sin_n(x)=x-\frac n 6 x^3 -\big(\frac n{30}-\frac{n^2}{24}\big) x^5+\cdots$$ lo que significa que $$ \frac{x-\sin_n(x)}{x^3}=\frac n 6+\big(\frac n{30}-\frac{n^2}{24}\big) x^2+\cdots$$

Answer 4

La forma de abordarlo es la siguiente: piensa en tus funciones como si vivieras en el ring $\Bbb R[[x]]$ y el campo $\Bbb R((x))$ . Se trata del anillo formal de series de potencias y su campo de fracciones, el campo de las series de Laurent con sólo un número finito de términos con exponentes negativos. En el anillo de series de potencias, siempre se puede cortar ignorando los términos de grado mayor o igual a un determinado $n$ . Esto equivale a trabajar en $\Bbb R[x]/(x^n)$ . Puede mostrar fácilmente cómo $x+ax^3$ y $x+bx^3$ componen juntos, modulo $(x^4)$ . Esta observación le dará la respuesta.