Lanzar $k$ bolas en $n$ contenedores.

Question

Tengo la siguiente pregunta:

Lanzar $k$ bolas en $n$ bins. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $z$ ¿las papeleras no están vacías?

Pensé en algo como: $$\Pr(z)=\frac{n! z^{k-z}}{n^k (n-z)!},$$ pero esto no es correcto.

Otra idea es: $\Pr(bin ~empty)=(1-1/n)^k$ , $\Pr(bin ~Not ~empty)=1-(1-1/n)^k$ así que..:

$$\Pr(z)=(\Pr(bin ~empty))^{n-z}(\Pr(bin ~Not ~empty))^{z}\cdot A$$

Entonces, ¿cómo obtener el $A$ ?

Gracias.

Answer 1

La probabilidad de que como máximo $r$ determinados contenedores no están vacíos es $(r/n)^k$ . Así pues, por inclusión-exclusión, la probabilidad de que exactamente $z$ determinados contenedores no están vacíos es

$$\sum_{j=0}^z(-1)^j\binom zj\left(\frac{z-j}n\right)^k=\frac{z!}{n^k}\left\{k\atop z\right\}\;,$$

où $\displaystyle\left\{k\atop z\right\}$ es un Número de Stirling del segundo tipo . Dado que existen $\displaystyle\binom nz$ formas de seleccionar $z$ bins particulares, la probabilidad deseada es

$$\binom nz\frac{z!}{n^k}\left\{k\atop z\right\}=\frac{n!}{(n-z)!n^k}\left\{k\atop z\right\}\;.$$

También se puede obtener este resultado observando que hay $n^k$ resultados en total, y los resultados favorables se caracterizan por una partición del conjunto de $k$ bolas en $z$ subconjuntos no vacíos (de los cuales hay $\displaystyle\left\{k\atop z\right\}$ ) y luego $n(n-1)\cdots(n-z+1)$ elegir dónde colocar cada subconjunto.

Answer 2

Me pregunto por qué no es la respuesta simple que se muestra a continuación. Elija z bins(any), poner 1 bola cada uno en esos bins, a continuación, poner al azar bolas en esos bins z.

La prob. requerida es nCz*(z/n)^(k-z)