Me pregunto si tengo la expresión
$$f = y(ln(x) +1)$$
y me dan $x \gg 1$ . ¿Es válido aproximar
$$f \approx yln(x)$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El símbolo utilizado es $\sim$ no $\approx$ cuando se trata del comportamiento asintótico de las funciones.
Suponiendo que $g(x)\neq 0$ entonces $f(x)\sim g(x)$ es una notación para $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$
La mayoría de las veces el contexto (es decir $x_0$ que suele ser $0$ o $\infty$ ) está implícita y se omite, aunque puede utilizar $f(x)\sim_{x_0} g(x)$ para especificarlo explícitamente.
Esta notación está en consonancia con Landau $o(\ )$ para indicar algo insignificante.
Dónde utilizamos $x\ll 1$ para los números, o en el contexto de $x\to 0$ podemos utilizar $f(x)=o(g(x))$ para significar $f(x)\ll g(x)$ con definición $\lim\limits_{x\to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}=0$
Es inmediato que $$f(x)=g(x)+o(g(x))\iff f(x)\sim g(x)$$
Rem: has notado que pedimos $g(x)\neq 0$ pero también podemos reescribirlo en épsilon-delta como $|f(x)|\le \epsilon|g(x)|$ equivalentemente para deshacerse de la división y mantener el mismo significado.
En el presente caso $f(x)=y\ln(x)+y$
Desde $y$ es constante $\frac y{\ln(x)}\to 0$ en el infinito ya que $\ln(x)\to+\infty$
Significa $y=o(\ln(x))$ ( $y$ es pequeño/nignificante en comparación con $\ln(x)$ ) y tenemos $f(x)\sim y\ln(x)$ .
vitamin d
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No existe una regla estricta para "aproximar". Así que tu pregunta quizá debería ser algo así como "¿Hasta qué punto es buena o mala esta aproximación?". Tampoco puedo responder a esta pregunta con certeza, ya que no has proporcionado más contexto. En realidad depende de cuál sea tu definición de "bueno" y de lo que quieras hacer con la aproximación.
En general, se trata de una buena aproximación (de nuevo, depende de lo que se entienda por "válido" y "bueno"):
Defina $f(x)=y(\log(x) +1)$ y $g(x)=y\log(x)$ donde $y$ es una constante real. Las funciones $f$ y $g$ tienen la misma complejidad temporal, por lo que $f=O(g)$ y $g=O(f)$ . Si no está familiarizado con el gran $O$ notación aquí hay dos definiciones equivalentes para $x\to\infty$ :
Def 1. $$\exists\ C > 0\ \exists\ x_0 > 0\ \forall\ x > x_0: |f(x)| \le C\cdot|g(x)|$$
Def 2. $$\limsup_{x \to \infty} \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < \infty$$
Dejaré la prueba para $f=O(g)$ y $g=O(f)$ a ti. En este caso yo utilizaría la primera definición, pero intentaría demostrarlo con ambas. Si sigues teniendo dudas pregunta en los comentarios.
