Recogida de pruebas: Breve demostración de la fórmula de cambio de variable

Question

He estado buscando una demostración de la fórmula de cambio de variable para la integración multivariable de Riemann, pero la mayoría parecen ser demasiado largas y engorrosas. Me gustaría ver una prueba que utilice habilidades de aproximación inteligentes o algunas técnicas avanzadas, y por supuesto, cuanto más corta, mejor. Gracias de antemano :).

Por cierto, cualquier prueba que implique ideas interesantes también es bienvenida.

Answer 1

Cambio de fórmula \begin{align*} \int_{a}^{b}f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int_{a}^{b}f(u)du, \end{align*} digamos, para $\varphi'>0$ suficientemente bueno.

1) Utilizando la integración por partes, se puede hacer para $f(x)=x^{n}$ , $n=0,1,2,...$

2) Utilizando Stone-Weierstrass, la fórmula se cumple para funciones continuas $f$ .

3) Utilizando el hecho de que $C[a,b]$ es $L^{1}$ denso en $R[a,b]$ el espacio de las funciones integrables de Riemann, el resultado es el siguiente.

Answer 2

Ya que has pedido ideas, una derivación interesante del cambio de variables es el teorema de Radon-Nikodyn sobre la derivada de medidas. En primer lugar, hagamos una formulación precisa. Sea $U \subset \mathbb{R}^n$ sea un conjunto abierto. Si $f:U \to \mathbb{R}^n$ es continuamente diferenciable, 1 a 1, y $\det Df(x) \neq 0$ para cualquier $x \in U$ entonces para cualquier integrable $w:f(U) \to \mathbb{R}^n$ , $$ \int_{f(U)} w(y) \, d\mathcal{L}^n(y) = \int_U w(f(x)) \, |\det Df(x)| d\mathcal{L}^n(x)\, . \qquad \text{(C.of.V. 1)} $$

Esbozo de prueba:

1. Basta demostrar C.of.V para funciones características de conjuntos medibles, es decir, para cualquier conjunto medible $E\subset U$ , $$ \mathcal{L}^n({f(E)}) = \int_E |\det Df(x)| \, d\mathcal{L}^n(x)\, . \qquad \text{(C.of.V. 2)} $$ Entonces el caso general c.de.V. 1 se deduce de la aproximación por funciones características.

2. Asumiré $U=\mathbb{R}^n$ para simplificar. Definir una nueva medida en $\mathbb{R}^n$ por $$ \mu(E):=\mathcal{L}^n({f(E)}) \, . $$

3. Mostrar cosas sobre esta medida. Como que está bien definida, que es de Borel, etc. Usted probablemente también tendrá que mostrar $f(E)$ es medible en Lebesgue si $E$ es.

3.5) Demuestre que $\mu$ es absolutamente continua respecto a $\mathcal{L}^n$ es decir, si $\mathcal{L}^n({E})=0$ entonces $\mu(E)=0$ .

4. A continuación, calcule la derivada de Radon-Nikodyn: $$ \frac{d\mu}{d\mathcal{L}^n}(x) = \lim_{r \to 0} \frac{\mu(f(B(x,r))}{\mathcal{L}^n(B(x,r))} = |\det Df(x)| \, . $$ Esto se deduce de la aproximación de $f(B(x,r))$ por $Df(x)(B(x,r))$ . La aproximación procede de la diferenciabilidad de $f$ y se acerca arbitrariamente a $r\to 0$ . ya que $Df(x)$ es un mapa lineal, incluso antes de tener $r\to 0$ tenemos $\mathcal{L}^n(Df(x)(B(x,r))) = |\det Df(x)|\mathcal{L}^n(B(x,r))$ .
5. Por Radon-Nikodyn, para cada $\mathcal{L}^n$ -medible $E$ , $$ \mu(E) = \int_E \frac{d\mu}{d\mathcal{L}^n}(x) \, d\mathcal{L}^n(x) = \int_E |\det Df(x)| \, d\mathcal{L}^n(x), $$ Que es sólo C.of.V 2.

Aparentemente esto se hace en el libro de Rudin, ¡pero no tengo acceso a ellos para verificarlo! Espero actualizar una vez que lo averigüe.

Nota: A medida que uno madura en matemáticas, lo que es elemental, fácil, natural, elegante, etc. va cambiando. Así que siéntete libre de criticar esta prueba :)