Este es un problema que surgió en el libro de L. Tu An Introduction to Manifolds.
17.3 (Retroceso de una 1-forma en $S^1$ ) Multiplicación en $S^1$ visto como un subconjunto del plano complejo viene dado por $$(\cos t+i\sin t)(x+iy)=(x\cos t-y\sin t)+i(x\sin t + y\cos t)$$ Por lo tanto, si $g=(\cos t,\sin t)\in S^1\subset \mathbb{R}^2$ entonces la multiplicación por la izquierda viene dada por $$l_g(x,y)=(x\cos t-y\sin t,x\sin t + y\cos t)$$ Sea $\omega=-ydx+xdy$ sea una forma 1. Demuestra $$l^\ast_g\omega=\omega$$ Hice el siguiente cálculo $$l^\ast_g\omega=l^\ast_g(-ydx+xdy)=-(l^\ast_g y)(dl^\ast_gx)+(l^\ast_gx)(dl^\ast_gy)$$ que se obtiene por la linealidad, distributividad y conmutatividad (con $d$ ) del pullback $l^\ast_g$ .
Puesto que para una función $l^\ast_g f = f \circ l_g$ podemos sustituir lo anterior y aplicar la diferencial para obtener lo siguiente $$l^\ast_g\omega = dt + \omega$$ Como puede ver, hay un $dt$ término del que no sé cómo deshacerme o si siquiera se supone que debe estar ahí. Mi cálculo exacto es el siguiente \begin{align} l^\ast_g\omega &= -(y\circ l_g)d(x\circ l_g)+(x\circ l_g)d(y\circ l_g)\\ &=-(x\sin t + y\cos t)d(x\cos t-y\sin t)+(x\cos t-y\sin t)d(x\sin t + y\cos t)\\ &=-(\cdots)(-x\sin t dt +\cos t dt dx -y\cos t dt -\sin t dy)\\ &\qquad \qquad+(\cdots)(x\cos t dt +\sin t dx -y\sin t dt+\cos t dy)\\ &=x^2dt-ydx+y^2dt+xdy\\ &=\omega + dt \end{align} Desde $x^2+y^2=1$ en el círculo. Agradecería cualquier ayuda.
