Encontrar una base para el conjunto de vectores en $\mathbb{R}^4$ en el subespacio (hiperplano) $x_1 +x_2 + 2x_3 + x_4 = 0, x_1 + 2x_2-x_3=0$

Question

Estoy estudiando para un examen y éste es uno de los problemas de práctica.

Encontrar una base para el conjunto de vectores en $\mathbb{R}^4$ en el subespacio (hiperplano) $x_1 +x_2 + 2x_3 + x_4 = 0, x_1 + 2x_2-x_3=0$

¿Puedo decir que el segundo plano es una combinación lineal del primer plano, y una base para el primer plano es $\{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & -2 \end{bmatrix}\}$ ¿es la base para el hiperplano (ambos planos) en el subespacio? Si no es así, ¿cómo puedo encontrar la base?

Answer 1

Asumo que quieres encontrar una base para el subespacio $$S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{R}^4 \mid x_1+x_2+2x_3+x_4=0\;\mbox{and}\;x_1+2x_2-x_3=0\}.$$ La forma habitual de hacerlo es observar que $S$ es el núcleo de la matriz $$\begin{bmatrix}1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 0\end{bmatrix}.$$ Fila reducir para obtener $$\begin{bmatrix}1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -1\end{bmatrix}.$$ Esto le dice que una base para $S$ es $\{(-5,3,1,0),(-2,1,0,1)\}$ .