g(x)y es una función Lipschitz.

Question

Para resolver esta cuestión: Esta ODE $(\dot x,\dot y)=(f(x),g(x)y)$ sólo tiene una solución .

Estoy tratando de demostrar que $g:\mathbb R\to \mathbb R$ , $g(x)y$ es una función de Lipschitz, no sé por qué, pero me pareció un poco extraño de demostrar.

Necesito ayuda

Gracias

Answer 1

Como se señaló en la otra solución, se aplica una condición de Lipschitz a $f$ por lo que existe una solución única para la EDO $\dot{x} = f(x)$ . Sea $x(t)$ sea esta solución. Entonces hay que demostrar que para cada $t$ la función $\gamma(y,t) = g(x(t)) y$ es localmente Lipschitz en $y$ .

Usted tiene $|\gamma(y,t)-\gamma(y',t)| = |g(x(t))| \|y - y' \|$ . Desde $x,g$ son continuas, $|g(x(t))|$ está acotada en intervalos de tiempo acotados. Por lo tanto $y \mapsto \gamma(y,t)$ es localmente Lipschitz en $y$ .