Propiedad de elevación de trayectoria inducida por la trivialidad local de un haz G de principio.

Question

En Kobayashi y Nomizu(Fundamentos de geometría diferencial Volumen 1) (pg:69) Proposición 3.1 (existencia y unicidad de elevación horizontal de trayectoria) se menciona que dado un pt $u$ en $P$ y un camino $x_t$ en $M$ el trivialidad local del principio $G$ - paquete $\pi:P \rightarrow M$ es suficiente para producir al menos un ascensor $v_t$ ( no necesariamente horizontal) en $P$ del camino $x_t$ en el colector de base $M$ tal que $v_t$ comienza en $u$ .

Lo abordé de la siguiente manera:

Sea ( $\phi_i,U_i)$ $i\in I$ (donde $I$ es un conjunto índice) son trivializaciones locales. Así que tenemos secciones locales correspondientes $\lbrace\ s_i\rbrace $ . Ahora defina $v_t$ = $s_io x_t$ si $x_t \in U_i$ . Pero si $x_t \in U_i\cap U_j$ entonces tenemos otra opción de sección local $s_j$ .

Pero entonces, ¿cómo estará bien definido?

Sé que $s_i(x)= \phi_i o \phi_j^{-1}o s_j(x)$ cuando $x \in U_i\cap U_j$

Estoy sintiendo de alguna manera tengo que utilizar la condición de compatibilidad anterior . Pero no puedo proceder mucho.

También tengo que asegurarme de que el camino levantado $v_t$ debe ser suave .

Gracias de antemano.

Answer 1

Sea $\psi_i$ sea una trivialización local de un haz de principios $P$ en el conjunto abierto $U_i$ del colector de base $M$ a saber,

$$\psi_i:\pi^{-1}(U_i)\to U_i \times G;u\ \mapsto (\pi(u), \phi_i(u)).$$

Tomamos arbitrariamente una trivialización local $\{s_i\}$ de $P$ con respecto a la cobertura abierta $\{U_i\}$ del colector de base $M$ .

Para obtener la elevación compatible en cada $U_i$ Consideramos lo siguiente: En primer lugar $U_0$ contiene el punto inicial de la curva $x_t$ de $M$ es decir $x_0 \in U_0$ . Entonces podemos construir la elevación de $x_t$ en cada tapa abierta $U_i$ por $v_i(t):=s_i(x_t)$ .

Tomemos una secuencia de puntos $$t_1 <t_2<,...,<t_n$$ para que $x_{t_i} \in U_i \cap U_{i+1}$ .

Si $v_1(t_1)=s_1(x_{t_1})\neq v_2(t_1)=s_2(x_{t_1})$ entonces por la acción de $G$ podemos tomar como base $s_2'$ para que $s_1(x_{t_1}) = s_2'(x_{t_1})$ y utilizando este procedimiento sucesivamente, podemos obtener una elevación de la trayectoria en el colector base de modo que sea compatible en cada una de las cubiertas abiertas.

Dado que cada trivialización local $s_i$ de $P$ y la acción de $G$ a $P$ son suaves, el camino elevado también lo es.