Esta es mi forma de entenderlo. Podemos definir varias topologías sobre un espacio vectorial para convertirlo en un espacio vectorial topológico. Si $\tau_2$ es más débil que $\tau_1$ ( $\tau_1\supset \tau_2$ ) , entonces $(X,\tau_1)$ tiene una función lineal más continua que $(X,\tau_2)$ . Por ejemplo $X$ dotado de una topología trivial, digamos $\tau=\{\emptyset, X\}$ entonces la única función lineal conitnua sobre ella es $f=0$ . Si $\tau=2^X$ cualquier función lineal sobre $X$ es continua. La topología más gruesa es la topología más débil para asegurarse de que el número de funcionales lineales continuos no disminuye. En otras palabras, el elemento de $X'$ "sigue siendo una función continua"
En el espacio $B$ tienes dos topologías: la débil y la fuerte $\tau_w,\tau_s$ . Es obvio que $\tau_w\subset \tau_s$ . es decir, es más débil que la topología fuerte, por eso se llama débil. Recordemos que un funcional sobre $(X,\tau)$ es continua si y sólo si $f^{-1}(U)\in \tau$ para cualquier conjunto abierto en $\mathbb{F}$ .
Entonces se pueden introducir dos tipos de continuidades sobre $B$ . Si $f\in X'$ entonces la definición de topología débil muestra que $f$ es también una función lineal continua sobre $(X,\tau_w)$ Por otra parte, cualquier $f$ que es continua débil, se puede demostrar que $f\in X'$ .
Pon un ejemplo: Pongamos $X=L^2(\Omega)$ y $Y=C_0^\infty(\Omega)$ y establece $F_h(g)=\int_\Omega h(x) g(x) dx$ . Entonces es un funcional lineal (fuerte) continuo sobre $X$ . Si definimos la topología más gruesa basándonos en $\{F_f\}_{f\in Y}$ en lugar de $X'$ . Esta topología $\tau_Y$ es aún más débil que la inducida por $X'$ . Existen algunas funciones lineales continuas en $X'$ no son continuos en $(\tau, Y_\tau)$ . En realidad, un $\Lambda$ es continua en $(\tau, Y_\tau)$ sólo si $\Lambda=F_{f}$ para algunos $f\in Y$ . Mientras tanto, $\Lambda\in X'$ sólo si $\Lambda=F_{f}$ para algunos $f\in X$ .
