Origen del término "localización" para la localización de un anillo

Question

Tengo curiosidad por saber si el término localización en la teoría de anillos proviene de la geometría algebraica o no. La conexión entre localización y "mirar localmente alrededor de un punto" parece que debería ser la fuente de la noción de localización. Parece plausible, pero parece que hubiéramos tenido que esperar hasta que Zariski definiera la topología de Zariski para que la conexión se hiciera evidente. Eso parece difícil de creer dada la cantidad de trabajo realizado en álgebra conmutativa antes del siglo XX, especialmente dada la importancia de la localización en el álgebra conmutativa.

Entonces esto plantea la pregunta: ¿Dónde y cuándo se utilizó por primera vez el término "localización" para describir la adyacencia de los inversos, y tiene su origen en la geometría algebraica o en algún otro lugar? ¿La noción de localización se utilizaba regularmente con otro nombre antes de que se le diera éste?

Answer 1

Estoy mirando el artículo "On the theory of local rings" de Chevalley (Annals of Math. 44 (1943)). En este artículo explica cómo localizar en un conjunto multiplicativo $S$ de divisores distintos de cero, y lo denomina anillo de cocientes del conjunto $S$ .

No cabe duda de que Chevalley estaba motivado por la geometría algebraica.

El artículo "Generalized semi-local rings", de Zariski (Summa Brasiliensis Math. 1 (1946)) atribuye la teoría de los anillos locales a Krull (en un artículo titulado "Dimensionstheorie in Stellenringen", Crelle 179 (1938), del que no tengo copia a mano) y a Chevalley (en el artículo antes mencionado), por lo que parece que la referencia a Chevalley antes citada es una guía razonable de la situación.

Por supuesto, ninguna de estas referencias aborda el origen del término localización en $S$ , pero (basándome en mis ideas preconcebidas, y reforzado por haber visto estos dos artículos) estoy bastante seguro de que fue motivado por la geometría algebraica.

Answer 2

No recuerdo muy bien la historia, pero las respuestas anteriores se ajustan perfectamente a una de mis citas favoritas de V.I. Arnold sobre esta misma cuestión que ilustra el abismo entre (1) la formación axiomática y (2) el enfoque práctico.

1. hay una respuesta estúpida obvia: en un esquema afín, la restricción a conjuntos abiertos distinguidos corresponde a la localización del anillo. Parece bastante claro que localización es un buen nombre para esto, sobre todo porque se pueden observar conjuntos abiertos cada vez más pequeños alrededor de un punto. (Ilya Grigoriev)

2. Si $M$ es un colector y $x\in M$ entonces el anillo de gérmenes lisos en $x$ es canónicamente isomorfa a la localización [ ] La localización geométrica se expresa algebraicamente introduciendo los inversos de las funciones para las que tiene sentido, por lo que se puede llamar localización. (Martin Brandenburg)

Los alumnos de la Escuela Normal Superior de París me preguntaron: "¿Por qué llama local al anillo de series formales de potencias? ¿Satisface los axiomas de un anillo local?". Para los no especialistas, permítanme explicar que la pregunta formulada es análoga a la pregunta "¿Por qué se llama sección cónica a un círculo?". Eran los mejores estudiantes de matemáticas de Francia. Al parecer, algún algebrista criminal les enseñó los axiomas de los anillos (e incluso de los anillos locales) sin darles ni un solo ejemplo (y, en particular, sin explicar el origen del término "local").

(V. I. Arnold, Problemas topológicos de la teoría de propagación de ondas, UMN, vol.51, número 1 (307), 1996, p.5)

Esta es mi traducción literal:

Estudiantes de la École Normale Supérieure de París me preguntaron: "¿Por qué se refiere al anillo de poder formal como local? ¿Satisface realmente los axiomas de un anillo local?". Permítanme comentar para los no expertos que su pregunta es análoga a la pregunta: "¿Por qué llama al círculo sección cónica?". Esos eran los mejores estudiantes de matemáticas de Francia. Al parecer, algún algebrista criminal les enseñó axiomas de anillo (e incluso axiomas de anillo local) sin darles un solo ejemplo (y, en particular, sin explicarles el origen del término "local").

(V.I. Arnold, Problemas topológicos en la teoría de la propagación de ondas , Russian Math Surveys, 51:1, 1996)

Answer 3

Si $M$ es un colector y $x \in M$ entonces el anillo de gérmenes lisos en $x$ es canónicamente isomorfa a la localización $C^{\infty}(M)_{\mathfrak{p}}$ donde $\mathfrak{p} = \{f \in C^{\infty}(M) : f(x) = 0\}$ . Creo que esto se sabía mucho antes de la topología de Zariski. Y sin embargo se obtiene el mismo mensaje: La localización geométrica se expresa algebraicamente introduciendo los inversos de las funciones para las que tiene sentido, por lo tanto puedes llamarla localización.

También me interesa una fuente histórica, pero no creo que la terminología surgiera de la geometría algebraica. Es al menos una instancia para motivar esta terminología, entre otras como la geometría diferencial y también el análisis funcional.