mapa holomorfo entre superficies de Riemann compactas

Question

¿Por qué un mapa holomorfo no constante entre superficies compactas de Riemann es una suryección? No entiendo: si el subconjunto X es abierto-cerrado del espacio Y, ¿entonces X es todo Y?

Answer 1

Recuerde que los mapas holomorfos no constantes son abiertos (cualquier conjunto abierto de una superficie compacta de Riemann es una unión de conjuntos abiertos que son cada uno holomórficamente equivalente a un disco abierto en el plano complejo; entonces use la fórmula teorema del mapa abierto y el hecho de que tomar imágenes bajo una función preserva las uniones), y que los mapas continuos de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff son cerrados. Por tanto, la imagen $f(X)$ es tanto abierto como cerrado en $Y$ . Si su definición de superficie de Riemann compacta incluye la conectividad, entonces la imagen debe ser toda de $Y$ .