Confusión en la fórmula de división en grupos

Question

Mi libro dice:

El número de formas de distribuir $m+n+p$ cosas diferentes entre tres personas en grupos desiguales que contienen m,n y p cosas es:

$$\frac{(m+n+p)!}{m!*n!*p!}*3!$$

que tiene sentido para mí porque es equivalente a producto de:

1. elegir a una persona y darle m objetos en $^3C_1*^{m+n+p}C_m$ vías
2. luego elegir a la segunda persona y darle n objetos en $^2C_1*^{n+p}C_n$ vías
3. luego elegir la tercera persona y darle p objetos en $^1C_1*^{p}C_p$ vías

Pero entonces el libro también da otra fórmula diciendo:

El número de formas de distribuir $3m$ cosas diferentes entre tres personas en grupos iguales que contengan m cosas es $$\frac{(3m)!}{(m!)^3}$$

Observe que falta $*3!$ . Según yo debería serlo: $\frac{(3m)!}{(m!)^3}*3!$ pero no lo es. Eso significa que no se deduce de la fórmula generalizada anterior ( $\frac{(m+n+p)!}{m!*n!*p!}*3!$ ). Mi pensamiento dice que debe tener el $*3!$ ya que, la fórmula anterior es equivalente al producto de:

1. elegir a una persona y darle m objetos en $^3C_1*^{3m}C_m$ vías
2. luego elegir a la segunda persona y darle m objetos en $^2C_1*^{2m}C_m$ vías
3. luego elegir la tercera persona y darle m objetos en $^1C_1*^{m}C_m$ vías

Mi pregunta es:

¿Por qué la segunda fórmula no tiene $*3!$ ¿en él? ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

editar (He borrado mi respuesta inicial que causó confusión)

Si hay $3m$ diferentes cosas a repartir entre $3$ personas y cada una de ellas recibe $m$ cosas entonces hay $\frac{(3m)!}{(m!)^3}$ formas de hacerlo. Pensemos en personas $1,2,3$ . En primer lugar $m$ las cosas se seleccionan por persona $1$ . Existen $\binom{3m}{m}$ posibilidades. Entonces de las cosas restantes $m$ se seleccionan por persona $2$ . Existen $\binom{2m}m$ posibilidades. El resto es para la persona $3$ y llegamos a un total de: $$\binom{3m}{m}\binom{2m}{m}=\frac{(3m)!}{(m!)^3}$$ posibilidades.

---

Si nos separamos $m+n+p$ cosas entre $1,2,3$ de forma que uno de ellos obtenga $m$ uno de ellos consigue $n$ y uno de ellos consigue $p$ cosas entonces podemos empezar con pasar por el mismo proceso en el sentido de que primero $m$ las cosas se seleccionan de persona $1$ entonces $n$ por persona $2$ y el resto de cosas son para persona $3$ . Esto nos lleva a: $\binom{m+n+p}{m}\binom{n+p}{n}=\frac{(m+n+p)!} {m!n!p!}$ posibilidades. Sin embargo, sólo contamos los desdoblamientos de la forma $m$ para $1$ , $n$ para $2$ y $p$ para $3$ . Si $m,n,p$ son distintos entonces necesitamos un factor extra $3!$ para reparar eso y terminamos con: $$\frac{(m+n+p)!3!} {m!n!p!}$$ posibilidades.