¿Cuántas soluciones tiene la ecuación $x+y=m+6$

Question

$$ x+ y = m + 6 $$ $$ 1 \le x,y \le 6 $$

Mis cálculos son definitivamente erróneos.

En su lugar, intento resolver la siguiente ecuación:

$$ w_1+ w_2 = m + 4 $$ $$ w_1=x-1, w_2=y-2$$ $$ 0 \le w_1,w_2 \le 5 $$

• Me cuesta entender por qué la cantidad de soluciones de la ecuación anterior es igual a la cantidad de soluciones de la primera.

En tercer lugar, para resolver lo anterior, voy a calcular cuántas soluciones para:

$$ w_1+ w_2 = m + 4 $$ $$ 6 \le w_1 (or) 6 \le w_2 $$

Para calcular cuántas soluciones para lo anterior, voy a calcular cuántas soluciones para:

$$ w_1+ w_2 = m + 4 $$ $$ 0 \le w_1,w_2 $$

Que es $ \binom{m+5}{m+4} = m+5$ . Lo solucioné pidiendo $(m+4)$ a y $1$ b en una línea.

y cuántas soluciones para:

$$ z_1+ w_2 = m - 2,w_1+ z_2 = m - 2,z_1+ z_2 = m - 8 $$ $$ z_1=w_1-6, z_2=w_2-6 $$ $$ 6 \le z_1,z_2,0 \le w_1,w_2 $$

La cantidad de soluciones para $ z_1+ w_2 = m - 2 $ es $ m-1 $ . La cantidad de soluciones para $ w_1+ z_2 = m - 2 $ es $ m-1 $ . La cantidad de soluciones para $ z_1+ z_2 = m - 8 $ es $ m-7 $ .

Así que la cantidad de soluciones para $ w_1+ w_2 = m + 4 $ con la restricción de $ 6 \le w_1 or 6 \le w_2 $ es: (por el Principio de inclusión-exclusión )

$$ m-1 + m-1 - (m-7) = m+5 $$

Como puedes notar, estoy definitivamente equivocado porque la cantidad de soluciones a la misma ecuación con y sin restricciones es la misma.

El resultado final para $ x+ y = m + 6 $ es $ 0 $ lo que es absolutamente erróneo .

Answer 1

Sugerencias

Quieres decir $x\ge 1$ , $y\le 6$ y $0\le m\le 5$

A continuación, intente dividir la pregunta en partes como $$x+y=6$$ en este caso $m=0$ . Por lo tanto, por el método de la estrella y las barras obtenemos la respuesta para este caso como $6$ .

A continuación, intente encontrar soluciones para $m=1$ es decir $$x+y=7$$ de nuevo por el método de la estrella y las barras obtenemos la solución como $7$ para este caso.

Del mismo modo continuar para $m=2,3,4,5$ y sumar el resultado para obtener la respuesta final.

Answer 2

¿Sabes que no. de soluciones "enteras positivas" de la ecuación $x_1+x_2+...+x_n=m$ donde $x_i$ 's & $m$ es entero positivo es $\binom{m-1}{n-1}$ Así que usando este poner cada $m$ de 0 a 5 , se obtiene el número de soluciones y luego se suma para obtener la solución total

Answer 3

Así que tienes que restar el caso cuando $y\geq 7$ .

Ahora déjalo, $x+y=n$ donde $x\geq 1$ y $y\geq 7$ considera ahora $x'=x-1\geq 0$ y $y'=x-7\geq 0$ así que esto da $x'+y'=n-8$ por lo que la solución no negativa para esto es $\binom{n-7}{1}$ . Esto es lo que tienes que restar a cada paso. Hágamelo saber cuando haya terminado.

Answer 4

Está bien si consideras positivo la respuesta debe ser $\displaystyle \sum_{m=0}^{5}\binom{m+5}{1}=45$

Si considera que no negativo soluciones , entonces número de soluciones para algunas m es $\binom{n+m-1}{n-1}$ por lo que habrá $\displaystyle \sum_{m=0}^{5}\binom{m+7}{1} = 57$