¿Es un polinomio en dos variables de grado tres, un elemento simétrico respecto a alguna involución?

Question

Sea $k[x,y]$ sea el $k$ -álgebra de polinomios en dos variables conmutativas $x$ y $y$ en $k$ donde $k$ es un campo de característica cero.

Dado un polinomio arbitrario de grado tres ¿es posible encontrar una involución tal que el polinomio dado sea un elemento simétrico (o asimétrico) con respecto a ella? ¿Se puede encontrar una respuesta a mi pregunta en el lenguaje de la geometría algebraica?

Observación: Para un elemento arbitrario de grado dos a saber: $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f$ , He conseguido demostrar, mediante largos cálculos, que dicho elemento es simétrico (o asimétrico) con respecto a al menos una de las involuciones $\{ \alpha, \beta, \epsilon\}$ que se definen a continuación.

Más elaboradamente: Una involución es un automorfismo de $k[x,y]$ de orden dos; por ejemplo: $\alpha: (x,y) \mapsto (y,x)$ , $\beta:(x,y) \mapsto (x,-y)$ y $\epsilon:(x,y) \mapsto (-x,-y)$ .

No es difícil demostrar que un $\alpha$ y $\beta$ son conjugados, mientras que $\epsilon$ está en una clase de conjugación diferente (el jacobiano de $\alpha$ y $\beta$ es $-1$ mientras que el jacobiano de $\epsilon$ es $1$ y los conjugados tienen el mismo jacobiano).

Para una involución arbitraria $\iota$ existe el conjunto de elementos simétricos respecto a ella, es decir, los elementos $w$ de $k[x,y]$ tal que $\iota(w)=w$ .

Ahora, dejemos que $p$ sea un polinomio arbitrario de grado tres: $p= a_{30}x^3+a_{21}x^2y+a_{12}xy^2+a_{03}y^3+a_{20}x^2+a_{11}xy+a_{02}y^2+a_{10}x+a_{01}y+a_{00}$ , donde $a_{ij} \in k$ .

Por cambio de coordenadas sólo conseguí que $a_{21}=0$ (y $a_{00}=0$ ), pero no veo por qué el nuevo $p$ debe ser un elemento simétrico para alguna involución.

¡Muchas gracias!

Answer 1

Existen cúbicas que no son invariantes bajo ninguna involución no trivial. No conozco una prueba fácil, pero lo explicaré.

Sea $E$ sea una curva elíptica cualquiera y $P,Q,R$ sean tres puntos generales en $E$ para que sean linealmente independientes en el grupo de Picard. Entonces, podemos incrustar $E$ en $\mathbb{P}^2$ utilizando el divisor $P+Q+R$ como una cúbica lisa y $P,Q,R$ son colineales. A continuación, considere la $\mathbb{A}^2$ que es el complemento de la recta que une estos puntos y $X\subset\mathbb{A}^2$ sea $E-\{P,Q,R\}$ . Entonces $X$ está definido por un polinomio cúbico digamos $f$ .

Si $\sigma$ es una involución no trivial del plano afín con $\sigma(f)=\pm f$ entonces $\sigma$ desciende a una involución de $X$ . Si esta involución es trivial, significa que $X$ está contenido en el lugar fijo de $\sigma$ . Pero, se sabe que esto no es posible ya que se sabe que tal involución puede tener lugar fijo ya sea un único punto o una línea afín (no necesariamente lineal) y $X$ tiene género uno. (Esto es consecuencia de la estructura del grupo de automorfismo del plano como producto amalgamado adecuado).

Así que.., $\sigma$ es una involución no trivial de $X$ y por tanto da una involución no trivial de $E$ . Pero, puesto que $\sigma$ lleva los tres puntos a los tres puntos, al menos uno de ellos debe ser un punto fijo de $\sigma$ . Digamos que $\sigma(P)=P$ entonces $\sigma$ fija los tres puntos o $\sigma(Q)=R$ . Desde $\sigma$ tiene un punto fijo, $E/\sigma=\mathbb{P}^1$ . La fibra de un punto de este mapa es $2P$ y la fibra de otro punto es $2Q$ o $Q+R$ dependiendo de si $\sigma$ fija $Q$ o no. En el primer caso, tenemos $2(P-Q)=0$ y en el segundo caso tenemos $2P-Q-R=0$ en el grupo de Picard, contrariamente a nuestra suposición de independencia lineal.