Demuestra que el área de los trangles es igual.

Question

Demuestra que el área de todos los traingles de la siguiente figura son iguales.

He intentado utilizar geogebra para determinar un valor arbitrario de $a$ , $b$ y $c$ . He descubierto que los triángulos tienen la misma medida de área.

Answer 1

Sea

• $*sbh$ significa que los triángulos tienen la misma base y altura.
• $*c$ significa que los triángulos son congruentes.

Tenemos

1. $A_1 \stackrel{*sbh}{=} B_1 \stackrel{*c}{=} B_3 \stackrel{*c}{=} A_3$ ,

2. $A_3 \stackrel{*c}{=} B_3 \stackrel{*c}{=} B_4 \stackrel{*sbh}= A_4$ ,

3. $A_2 \stackrel{*c}= A_3$

Answer 2

Es útil saber que el área de un triángulo puede calcularse mediante $$\frac12ab\sin\theta$$ donde $a$ y $b$ son dos longitudes laterales del triángulo y $\theta$ es el ángulo entre esas dos longitudes laterales.

Sea $\alpha$ sea el ángulo en $A_3$ formado por las longitudes laterales $b$ y $c$ . Entonces, el ángulo formado por las longitudes laterales $b$ y $c$ en $A_4$ es $\pi-\alpha$ . Desde $\sin\alpha=\sin(\pi-\alpha)$ , $A_3$ y $A_4$ tienen la misma superficie.

Esto puede aplicarse a los demás triángulos del diagrama.

Answer 3

Área de $A_2$ y $A_3$ es $ab/2$ .

Para $A_1$ : establezca un paralelismo con $b$ a través del vértice superior del cuadrado en $c$ . La distancia desde esta paralela al lado en la parte inferior de $A_1$ es $b$ (Teorema de Pythagoren).

¿Puede hacer lo mismo con $A_4$ ?