Cómo evaluar el volumen integral

Question

Cómo evaluar el volumen integral

$R$ es la región finita limitada por $x=y$ y $x=4y-y^2$

No entiendo dónde empieza y acaba la zona. Según el manual de soluciones $V=2\pi\int_0^3...$

¿Dónde está $2\pi$ ¿De dónde viene? Normalmente utilizo $\pi$ .

Answer 1

$x=4y-y^2$ se cruza con $y=x$ así

$x=4x-x^2\to x^2-3x=0\to x_1=0;\;x_2=3$

$y=2\pm\sqrt{4-x}$

$$V=\int _{a}^{b}\pi \left(f(x)^{2}-g(x)^{2}\right)dx$$ es decir $$V=\pi\left[\int_0^3\,\left(x^2-(2-\sqrt{4-x})^2\right)\,dx +\int_3^4\,\left((2+\sqrt{4-x})^2-x^2\right)\,dx\right]$$ $$V=\pi\left[\int_0^3\,\left(x^2+x+4 \sqrt{4-x}-8\right)\,dx +\int_3^4\,\left(x^2+x-4 \sqrt{4-x}-8\right)\,dx\right]$$ $$V=\pi\left(\left\vert \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{1}{3} (-8) (4-x)^{3/2}-8 x\right\vert_0^3+\left\vert \frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{8}{3} (4-x)^{3/2}+8 (4-x)\right\vert_3^4\right)=\\V=3\pi$$ Espero que esto ayude

$$...$$