Necesito ayuda para encontrar la integral indefinida de $$\int\,\frac{x}{(7x - 10 - {x^2})^{3/2}}\,\text{d}x\,.$$
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Farkhod Gaziev
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6
SUGERENCIA:
En $$7x-10-x^2=-\dfrac{4x^2+40-28x}4=\dfrac{3^2-(2x-7)^2}4$$
Establecer $2x-7=3\sin\theta$
Véase : Sustituciones trigonométricas
$$\int { \frac { x }{ \sqrt { { \left( 7x-10-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } } dx } =\int { \frac { x }{ \sqrt { { -\left( { x }^{ 2 }-7x+10 \right) }^{ 3 } } } dx= } \int { \frac { x }{ \sqrt { { -\left( { x }^{ 2 }-7x+\frac { 49 }{ 4 } -\frac { 49 }{ 4 } +10 \right) }^{ 3 } } } dx= } \\ =\int { \frac { x }{ \sqrt { { { \left( \frac { 9 }{ 4 } -{ \left( x-\frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } } } dx } \\ x-\frac { 7 }{ 2 } =\frac { 3 }{ 2 } \sin { t } \\ x=\frac { 1 }{ 2 } \left( 7+3\sin { t } \right) \Rightarrow dx=\frac { 3 }{ 2 } \cos { t } dt\\ \int { \frac { \frac { 3 }{ 2 } \cos { t } }{ \sqrt { { { \left( \frac { 9 }{ 4 } -{ \frac { 9 }{ 4 } }\sin ^{ 2 }{ t } \right) }^{ 3 } } } } dt } =\int { \frac { \frac { 3 }{ 2 } \cos { t } }{ { \left( \frac { 3 }{ 2 } \right) }^{ 3 }\sqrt { { { \left( 1-\sin ^{ 2 }{ t } \right) }^{ 3 } } } } dt } =\frac { 4 }{ 9 } \int { \frac { \cos { t } }{ \cos ^{ 3 }{ t } } dt=\frac { 4 }{ 9 } \int { \frac { dt }{ \cos ^{ 2 }{ t } } =\frac { 4 }{ 9 } } } \tan { t } +C\\ \sin { t } =\left( \frac { 2x-7 }{ 3 } \right) \Rightarrow t=\arcsin { \left( \frac { 2x-7 }{ 3 } \right) } \\ \frac { \\ 4 }{ 9 } \tan { \arcsin { \left( \frac { 2x-7 }{ 3 } \right) } } +C=\frac { 4 }{ 9 } \frac { \left( \frac { 2x-7 }{ 3 } \right) }{ \sqrt { 1-{ \left( \frac { 2x-7 }{ 3 } \right) }^{ 2 } } } +C=\frac { 8x-28 }{ 9\sqrt { -4x^{ 2 }+28x-40 } } +C$$ así que
$$\int { \frac { x }{ \sqrt { { \left( 7x-10-{ x }^{ 2 } \right) }^{ 3 } } } dx } =\frac { 8x-28 }{ 9\sqrt { -4x^{ 2 }+28x-40 } } +C$$
Michael Hardy
Puntos
128804
Tenemos $$ \int \frac{x}{(7x - 10 - x^2)^{3/2}}\,dx. $$ Sea $u=-x^2 +7x-10$ de modo que $du = (-2x+7)\,dx$ y $\dfrac{-du} 2 = \left( x - \dfrac 7 2 \right)\, dx$ . Entonces la integral se convierte en $$ \int\frac{x - \frac 7 2}{(7x-10+x^2)^{3/2}} \,dx + \frac 7 2 \int \frac{dx}{(7x-10+x^2)^{3/2}} $$ La sustitución anterior se ocupa de la primera de estas dos integrlas; la siguiente, de la segunda:
\begin{align} & -x^2+7x-10 = \overbrace{- (x^2-7x)-10 = -\left( x^2-7x + \frac{49}4 \right)^2 -10 + \frac{49}4}^{\text{completing the square}} \\[10pt] = {} & -\left( x - \frac 7 2 \right)^2 + \left(\frac 3 2 \right)^2 = \left( \frac 3 2\right)^2 \left( 1 - \left( \frac 2 3 \left( x - \frac 7 2 \right) \right)^2 \right) \\[10pt] = {} & \left( \frac 3 2 \right)^2 \left( 1 - \left( \frac{2x-7} 3 \right)^2 \right) = \left( \frac 3 2 \right)^2 (1-\sin^2\theta) \end{align}
Así que \begin{align} \frac{2x-7} 3 & = \sin\theta \\[10pt] \frac 2 3 \, dx & = \cos\theta\,d\theta \end{align} etc.
