Filosofía
En un curso de análisis real / teoría de la medida se aprende que los conjuntos de medida cero son despreciables para la integración. Y así es, para la integración de funciones . Pero cuando integramos una expresión que implica derivadas de una función, puede ocurrir algo complicado: si la función no es lo suficientemente suave, su derivada puede convertirse en un distribución que no esté representado por una función. Una distribución de este tipo puede vivir en un solo punto (delta de Dirac) y, sin embargo, contribuir a la integral. Ya escribió sobre esta diferencia entre la integración directa y las aplicaciones de algún tipo fo Teorema fundamental del cálculo. Esta es la razón por la que las afirmaciones cuidadosas de Identidades verdes (y otras formas del FTC / teorema de Stokes) imponen la suavidad hasta el límite inclusive. En casos concretos mayo poder utilizarlas para funciones menos suaves agotando el dominio por subdominios compactos y argumentando que las integrales pertinentes convergen; pero esta convergencia es no automático.
Ejemplo concreto
El propio núcleo de Poisson presenta un ejemplo de cómo un punto límite puede marcar la diferencia. La función $$ u(r,\theta) = \frac{1-r^2}{1-2r\cos\theta +r^2} \tag{1}$$ es armónico en el disco unitario $D$ y tiende a cero en todos los puntos límite excepto en uno. Pero no es idénticamente cero. No se reproduce por la fórmula integral de Poisson a partir de sus valores límite, entendidos como " $0$ a.e." Y en particular,
$$ 0=\int_{D} \Delta u \ne \int_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} =-2\pi \tag{2}$$ (tomando exterior normal). En términos físicos, el campo gradiente $\nabla u$ fluye a través de toda la frontera y no tiene sumideros dentro del dominio. ¿Adónde se dirige? Sale por el punto único $1$ .
Qué necesitamos saber sobre una función armónica $h$ en $D$ concluir que está representada por una integral de Poisson de un $L^1$ ¿función? Una condición necesaria es $$ \sup_{0<r<1}\int_0^{2\pi} |h(r,\theta)|\,d\theta<\infty \tag{3}$$ La razón por la que (3) es necesaria es que la convolución con el núcleo de Poisson es una contracción sobre $L^1$ espacio; así, el $L^1$ norma de $h$ en cada círculo concéntrico es como máximo el $L^1$ de sus valores límite. Pero (3) no es suficiente para $h$ sea la integral de Poisson de un $L^1$ porque (1) la satisface. Resulta que (3) es necesario y suficiente para que $h$ sea la integral de Poisson de a medida con signo finito en $\partial D$ . Para la función (1), esta medida es una masa puntual en $1$ .
Si se cumple una condición más fuerte: hay $p>1$ tal que $$ \sup_{0<r<1}\int_0^{2\pi} |h(r,\theta)|^p\,d\theta <\infty \tag{4}$$ entonces $h$ es la integral de Poisson de un $L^1$ (de hecho $L^p$ ) en la frontera. Los valores límite pueden entenderse en el sentido de límites no tangenciales, o como límite en $L^p$ de las restricciones de $h$ a círculos concéntricos. En particular, toda función armónica acotada sobre $D$ es la integral de Poisson de un $L^\infty$ en la frontera. Por ejemplo, si prescribimos $h$ ser $1$ en alguna parte de la frontera, y $-2$ en otro, y $\limsup_{z\to\zeta}|h(z)|\le 2$ cuando $\zeta$ pertenece a la parte restante de la frontera (de medida cero), entonces dicha función armónica es única.
Observaciones
La diferencia entre $p=1$ y $p>1$ tiene que ver con el hecho de que $L^1$ no es un espacio dual. Para $p>1$ podemos utilizar el teorema de Banach-Alaoglu para obtener un límite débil de las restricciones de $h$ a los círculos $|z|=r$ ; este límite débil da la noción de valores límite adecuada para la integración.
La condición (4) puede debilitarse a integrabilidad uniforme de las restricciones de $h$ .
Cuando en lugar de $D$ nos fijamos en el semiplano, debemos darnos cuenta de que $\infty$ también es un punto límite. Un mapa de Möbius hace esto preciso, enviando $\infty$ en un punto límite del disco.
Lectura recomendada: Teoría de potenciales en el plano complejo por T. Ransford.
