Acerca de la notación del índice tensorial

Question

Al aprender sobre la notación tensorial (de Einstein) me he dado cuenta de lo que me parecen incoherencias en la notación. Ahora bien, en la notación de Einstein los vectores se denotan mediante superíndices $v^i$ mientras que los covectores se denotan mediante subíndices $v_i$ . Sin embargo, en el contexto de las formas diferenciales, los covectores $dx^i$ se denotan con superíndices y los vectores $\frac{d}{dx^i}$ mediante subíndices, lo que es contrario a la convención de suma de Einstein -- además en el mismo contexto (diferencial-geométrico) el tensor geométrico se escribe como $g_{ij}$ que se ajusta a la convención de Einstein(por ser un $(0,2)$ tensor). Sin embargo, esto parece hacer que expresiones como $ds^2 = g_{ij}dx^idx^j$ muy impar, ya que si bien esto es claramente lo que uno querría para obtener la suma correcta contrayendo índices, es sin embargo extremadamente extraño que parezcamos estar esencialmente contrayendo covectores por otros covectores.

En cualquier caso, me pregunto si la notación utilizada es incoherente a la hora de denotar los covectores mediante subíndices/supraíndices y, en caso afirmativo, de dónde procede esta incoherencia.

Answer 1

Es necesario diferenciar entre el componentes de un vector y el propio vector.

En $n$ vectores de coordenadas $\partial_j$ constituyen una base de la n-dimensional espacio tangente $T_p(M)$ en cada punto $p\in M$ . A veces estas bases de coordenadas inducidas por los gráficos $(U,h)$ se denominan bases naturales o canónicas.

En relación con un gráfico dado (U,h) con funciones de coordenadas $x^1,\dots, x^n$ cualquier vector $v\in T_p(M)$ admite la representación $$v=v^i\frac{\partial }{\partial x^i}$$

Cuando decimos que $v^i$ es un vector contravariante en realidad queremos decir que los componentes $v^i$ se transforma como un vector contravariante en $p$ (y que $v\in T_p(M)$ ). Los coeficientes están definidos unívocamente por $$v^i=vx^i$$

Para dos gráficos superpuestos, el vector $v$ está representado por $v=v^i\frac{\partial}{\partial x^i}$ y $v=\bar{v}^j\frac{\partial}{\partial {\bar{x}}^j}$ respectivamente. Con $v^i=v x^i$ y $\bar{v}^j=v\bar{x}^j$ podemos hacer dos observaciones importantes $$\bar{v}^j=v^{i}\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^i}\tag{1}$$

$$v=\bar{v}^j\frac{\partial }{\partial \bar{x}^j}=v^h\frac{\partial\bar{x}^j}{\partial x^h}\frac{\partial}{\partial \bar{x}^j}=v^h\frac{\partial}{\partial x^h}\tag{2}$$

Ahora $(1)$ nos dice que efectivamente el componentes $v^i$ se transforma como los componentes de un vector contravariante. Además, como $(2)$ es válido para cualquier arbitraria $v^i$ concluimos que

$$\frac{\partial }{\partial x^h}=\frac{\partial \bar{x}^j}{\partial x^h}\frac{\partial }{\partial \bar{x}^j}$$

Así pues, los elementos de base para el ( contravariante ) el propio espacio tangente se transforma como covariante vectores

No voy a entrar en detalles sobre cómo construir la base dual $\{dx^k,\,k=1\dots n\}$ de $T^*_p(M)$ pero se deduce naturalmente de la definición del elemento único $df\in T^*_p(M)$ tal que $\langle d f,v\rangle=vf$ que cualquier $\omega\in T^*_p(M)$ puede expresarse como

$$\omega=\omega_jdx^j$$

Observe de nuevo que $\omega_j$ son los componentes de un tensor covariante, mientras que $dx^j$ son la base (que se transforma de forma contravariante). El espacio tangente dual $T^*_p(M)$ se denomina espacio cotangente y sus elementos $\omega$ se denominan covectores o 1-formas .

Concretamente con $df=f_hdx^h$ tenemos $df=\partial_jfdx^j$ (ya que $\langle df,\partial_j\rangle=f_j$ ) que es coherente con la expresión habitual para el diferencial de una función .