Vamos a trabajar de forma local en el primer $\mathfrak p$ (o completa en $\mathfrak p$ si usted lo prefiere), y así asumir la $\mathcal O_K$ es un DVR con ideal maximal $\mathfrak p$. También, vamos a suponer que $\mathcal O_L = \mathcal O_K[\alpha]$ algunos $\alpha$. (Incluso si pasamos a la terminación a $\mathfrak p$ esto no es siempre cierto en el inseparables de residuos contexto de campo, porque no siempre es verdad que inseparables campo extensiones son simples, pero hace las cosas más transparente si asumimos esto.)
Si $f(x) \in \mathcal O_K[x]$ es el polinomio mínimo de a $\alpha$,
entonces podemos escribir $\mathcal O_L = \mathcal O_K[x]/(f(x)) .$
Ahora unramified significa que esta extensión debe ser etale en el sentido de la propiedad conmutativa de álgebra/geometría algebraica, es decir, que la derivada $f'(x)$ debe ser invertible en el cociente $\mathcal O_L$. (En realidad etale es igual a unramified más plano, pero a la llanura de $\mathcal O_L$ $\mathcal O_K$ es automática en nuestro entorno; así que no te preocupes si esto no significa nada para usted!) Ahora se puede invertir en un DVR sólo significa que $f'(x)$ es distinto de cero en el residuo de campo, es decir, que $k[X]/(f(X))$ es un producto de la separables campo de las extensiones de si, donde $k = \mathcal O_K/\mathfrak p$, es decir, que $\mathcal O_L/\mathfrak p$ es un producto de la separables campo extensiones de $k$. En otras palabras, $\mathcal O_L$ es unramified $\mathcal O_K$ precisamente si $\mathfrak p$ factores en un producto de números primos en $\mathcal O_L$, cada uno que aparece con multiplicidad uno, y que cada uno tenga un residuo de campo que es separable sobre $k$.
Para una perspectiva geométrica, tenga en cuenta que un no-separables de residuos de extensión de campo en el contexto de las curvas de más de un campo se convertirá en multiplcity si ampliamos escalares.
E. g. en el campo $k = \mathbb F_p(T)$, y el mapa de $\phi: \mathbb A^1_{/k} \to \mathbb A^1_{/k} $ definido por $X \mapsto T^{-1}X^p.$ (Aquí se $X$ es la coordenada en $\mathbb A^1$; y recuerde que $T$ es un elemento del campo de tierra $k$.) Esto le da a la extensión de los dominios de Dedekind (y $k$-álgebras)
$$\mathcal O_K :=k[Y] \subset k[Y][X]/(X^p - TY)= k[X] =: \mathcal O_L.$$
Si tomamos $\mathfrak p = (Y)$, correspondiente al punto de $0$$\mathbb A^1$,
entonces factores como $(Y) =(TY)$ (recuerden $T$ es una unidad) $= (X)^p$, por lo que la extensión de los residuos campos es trivial (sólo $k$$k$), mientras que $e = p$.
Por otro lado, si nos fijamos sobre el punto de $(Y -1)$, que corresponde a los puntos de $1$$\mathbb A^1$, no hay un único primer acostado sobre él, es decir,$(X^p - T)$. Por lo $e = 1$, pero el residuo de extensión de campo no es trivial, y no separados (es $K(T^{1/p})$$k$.)
Ahora vamos a extender la sclaras de $k$ a la clausura algebraica de $k$ (o incluso sólo a $l := k(T^{1/p})$). Entonces nuestra extensión de los dominios de Dedekind se convierte en
$$l[Y] \subset l[Y][X]/(X^p - TY) = l[Y][X] / (X - T^{1/p}Y)^p = l[X].$$ Above $0$ the fibre doesn't change, we still have $e = p$ and a trivial residue field extensions, but above $1$, we now have $(Y-1) = (X - T^{1/p})^p$, i.e. $e = p$ y un trivial extensión de residuos de campos.
Nuestra mapa original $\phi$ no fue el Frobenius mapa, pero era una retorcida forma de Frobenius (trenzado por $T$). Después de la ampliación de escalares a $l$, podríamos desenrollar, y nuestro mapa sólo se convierte en el Frobenius (después de un cambio de coordenadas a $T^{1/p}X$ en la fuente). Así que después de esta base, a cambio, tenemos $e = p$ por encima de cada punto/prime en el destino; pero antes, no teníamos $e = p$ en general --- lugar tuvimos $e = 1$, pero inseparable de residuos de extensión de campo de grado $p$.
Así que la noción de $e = 1$ no es estable en virtud de la extensión de escalares (cuando estamos en el contexto geométrico de curvas sobre los campos), pero la noción de unramified ($e = 1$ y separables de residuos de extensión de campo) es estable bajo la extensión de escalares. Normalmente, las propiedades que son separables en virtud de la extensión de escalares están mejor educados --- por supuesto, tautologically se comportan mejor en virtud de la extensión de escalares (!), pero esto tiene un significado conceptual: lo que significa que ellos son la captura de un cierto aspecto de la geometría subyacente, en lugar de algo más de fenómenos transitorios que sólo tiene que ver con nosotros trabajan a través de tal vez un campo de escalares que es demasiado pequeño para revelar todos los geométrica de los fenómenos en juego.
Aquí estoy limitando mi discusión de la extensión de escalares a la configuración de DVRs que vienen a partir de las curvas de más de un campo, porque en la teoría de números (por ejemplo) no es tan obvio cómo hacer extensiones de escalares que nos mantienen dentro del ámbito de la norma de la teoría algebraica de números (Dvr dentro finito extensiones de $\mathbb Q$ o $\mathbb Q_p$). Sin embargo, cuando se define correctamente los conceptos de unramified y etale sentido para cualquier extensión (o, más generalmente, de morfismos) de los anillos (o incluso más generalmente, de morfismos de los planes) y, a continuación, ambos son estables bajo arbitraria de la base del cambio.
(En la formulación, me dio el sobre, escribir $\mathcal O_L := \mathcal O_K[x]/(f(x))$ $f'(x)$ ser una unidad en $\mathcal O_L$, este perservation bajo arbitraria base de cambio de $\mathcal O_K \to A$ es bastante claro.)
