La función de distribución de X+

Question

Supongamos que tenemos una función de densidad simétrica en torno a $y$ eje, es decir $\mathbb{P}(X\leq 0)=\mathbb{P}(X\geq 0)=\Phi(0)=0.5$ donde $\Phi(\cdot)$ es la función de distribución de $X$ .

$$y^+=\max(y,0)$$

¿Es correcto este planteamiento?

Sea $x\geq 0$ \begin{eqnarray} &&\mathbb{P}(X^+\leq x)=\mathbb{P}(\max(X,0)\leq x)=\\ &&\mathbb{P}(X< 0)\times \mathbb{P}(\max(X,0)\leq x \vert X< 0)+\mathbb{P}(X\geq 0)\times \mathbb{P}(\max(X,0)\leq x \vert X \geq 0)=\\ &&\frac{1}{2}\times \mathbb{P}(\max(X,0)\leq x \vert X< 0)+\frac{1}{2}\times \mathbb{P}(\max(X,0)\leq x \vert X\geq 0)=\\ && \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Phi(x) \end{eqnarray} En $X^+|X$ tiene la misma distribución que $X$ ?

¿Podemos deducir que \begin{eqnarray} \Phi_{X^+}(z)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Phi(z),&& \mbox{ if }z\geq 0\\ &&\\ \Phi_{X^+}(z)=0,&& \mbox{ if }z< 0 \end{eqnarray}

Answer 1

Hay que tener más cuidado al calcular la segunda parte:

$$ \mathbb{P}(\max(X,0)\leq x|X \geq 0) = \frac {\mathbb{P}(X\leq x, X \geq 0) }{\mathbb{P}(X \geq 0)} = 2\left(\Phi(x) - \frac {1} {2}\right)$$

y así obtendrá el resultado de acuerdo con su hallazgo empírico.

Tenga en cuenta que $X^+$ es una función (medible) de $X$ Así que $X^+ \in \sigma(X)$ y así $X^+|X$ tiene la misma distribución que $X^+$