Integral $\int\frac{4x^4}{{x^8+1}}\;dx$

Question

Estoy intentando esta integral pero no estoy seguro de cómo proceder. He empezado a sospechar que en realidad no es elemental. ¿Puede alguien hacer esto? Siempre podría usar series de Taylor después de un poco de u-sub e integración por partes, pero quería saber si había una forma algo más directa de hacerlo. La integral es $$\int\frac{4x^4}{{x^8+1}}\;dx$$ Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, permítanme precisar que, para este tipo de integrales, las expansiones de Taylor podrían ser más que peligrosas.

Considerando el integrando, se puede escribir primero (por analogía con $(x^4+1)$ $$\frac {4x^4}{x^8+1}=\frac{\sqrt{2} x^2}{x^4-\sqrt{2} x^2+1}-\frac{\sqrt{2} x^2}{x^4+\sqrt{2} x^2+1}$$ Entonces $$x^4-\sqrt{2} x^2+1=\left(x^2-\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right) \left(x^2-\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right)$$ $$x^4+\sqrt{2} x^2+1=\left(x^2+\frac{1-i}{\sqrt{2}}\right) \left(x^2+\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right)$$ que finalmente hacen $$\frac {4x^4}{x^8+1}=\frac{i \sqrt{2}}{\sqrt{2}-(1-i) x^2}-\frac{i \sqrt{2}}{\sqrt{2}-(1+i) x^2}+\frac{i \sqrt{2}}{\sqrt{2}+(1-i) x^2}-\frac{i \sqrt{2}}{\sqrt{2}+(1+i) x^2}$$ y ahora, nos enfrentamos a integrales bastante triviales. $$\int\frac {4x^4}{x^8+1}\,dx=\cos \left(\frac{\pi }{8}\right) \left(\frac{1}{2} \log \left(\frac{x^2+2 x \sin \left(\frac{\pi }{8}\right)+1}{x^2-2 x \sin \left(\frac{\pi }{8}\right)+1}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{2 x \sin \left(\frac{\pi }{8}\right)}{1-x^2}\right)\right)+$$ $$\sin \left(\frac{\pi }{8}\right) \left(\frac{1}{2} \log \left(\frac{x^2-2 x \cos \left(\frac{\pi }{8}\right)+1}{x^2+2 x \cos \left(\frac{\pi }{8}\right)+1}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{2 x \cos \left(\frac{\pi }{8}\right)}{1-x^2}\right)\right)$$

En particular $$\int_0^\infty\frac{4x^4}{{x^8+1}}\;dx=\pi\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}} $$

Answer 2

No es una respuesta. Quizá este resultado inspire un método manual. La integral es "elemental".

\begin{align*} &\int \frac{4x^4}{x^8+1} \,\mathrm{d}x \\ &= 4 \left(-\frac{1}{8} \cos \left(\frac{\pi }{8}\right) \log \left(x^2-2 x \sin \left(\frac{\pi }{8}\right)+1\right) \right. \\ &\quad \left. {} +\frac{1}{8} \cos \left(\frac{\pi }{8}\right) \log \left(x^2+2 x \sin \left(\frac{\pi }{8}\right)+1\right) \right. \\ &\quad \left. {} +\frac{1}{8} \sin \left(\frac{\pi }{8}\right) \log \left(x^2-2 x \cos \left(\frac{\pi }{8}\right)+1\right) \right. \\ &\quad \left. {} -\frac{1}{8} \sin \left(\frac{\pi }{8}\right) \log \left(x^2+2 x \cos \left(\frac{\pi }{8}\right)+1\right) \right. \\ &\quad \left. {} +\frac{1}{4} \cos \left(\frac{\pi }{8}\right) \tan ^{-1}\left(\csc \left(\frac{\pi }{8}\right) \left(x-\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)\right)\right) \right. \\ &\quad \left. {} +\frac{1}{4} \cos \left(\frac{\pi }{8}\right) \tan ^{-1}\left(\csc \left(\frac{\pi }{8}\right) \left(x+\cos \left(\frac{\pi }{8}\right)\right)\right) \right. \\ &\quad \left. {} -\frac{1}{4} \sin \left(\frac{\pi }{8}\right) \tan ^{-1}\left(\sec \left(\frac{\pi }{8}\right) \left(x-\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)\right)\right) \right. \\ &\quad \left. {} -\frac{1}{4} \sin \left(\frac{\pi }{8}\right) \tan ^{-1}\left(\sec \left(\frac{\pi }{8}\right) \left(x+\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)\right)\right)\right) \text{.} \end{align*}

Producido por un CAS . Hay algunas "simplificaciones", pero no acortan mucho la expresión.