integral definida. ¿forma cerrada?

Question

¿Tiene esta integral definida una forma cerrada $?$ : $$ \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{e}^{1/\log\left(x\right)}} {x^{1/5}\, \left[\log\left(x\right)\right]^{1/5}} \,\mathrm{d}x $$ Aunque puede que no, tengo esperanzas en una forma cerrada. La parte problemática son los exponentes fraccionarios.

• Por ejemplo, si el denominador fuera $x^{1}$ veces $\log^{n}\left(x\right)$ entonces la integral resultaría estar relacionada con $\Gamma\left(n\right).$
• Sin embargo, cuando ambos exponentes son fraccionarios, me resulta mucho más difícil.
• Tengo la corazonada de que la forma cerrada es en términos de un función de Bessel modificada de segundo tipo por haber evaluado integrales similares.

Aunque esta integral parece desalentadora creo que se puede resolver $!$ .

Muchas gracias.

Answer 1

Con la ayuda de CAS y la transformada de Mellin:

$$\int_0^1 \frac{\exp \left(\frac{1}{\log (x)}\right)}{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{\log (x)}} \, dx=\\\mathcal{M}_a^{-1}\left[\int_0^1 \mathcal{M}_a\left[\frac{\exp \left(\frac{a}{\log (x)}\right)}{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{\log (x)}}\right](s) \, dx\right](1)=\\\mathcal{M}_a^{-1}\left[\int_0^1 \frac{(-1)^{-s} \Gamma (s) \log ^{-\frac{1}{5}+s}(x)}{\sqrt[5]{x}} \, dx\right](1)=\\\mathcal{M}_s^{-1}\left[-(-1)^{4/5} \left(\frac{4}{5}\right)^{-\frac{4}{5}-s} \Gamma (s) \Gamma \left(\frac{4}{5}+s\right)\right](1)=\\-(-1)^{4/5} *\sqrt[5]{2}* 5^{2/5} *K_{\frac{4}{5}}\left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)\approx0.302595\, -0.219848 i$$

Dónde:

$\mathcal{M}_a[f(a)](s)$ es la transformada de Mellin,

$\mathcal{M}_s^{-1}[f(s)](a)$ es la transformada inversa de Mellin,

$K_{\frac{4}{5}}\left(\frac{4}{\sqrt{5}}\right)$ es una función de Bessel modificada del segundo tipo.

Answer 2

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\on}[1]{\operatorname{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ Con $\ds{m \in \braces{\pm 1,\,\pm 3,\,\pm 5,\ldots}}$ : \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int_{0}^{1} {\expo{1/\ln\pars{x}} \over x^{1/5}\,\,\bracks{\vphantom{\large A}\ln\pars{x}}^{1/5}}\,\dd x} = \int_{0}^{1} {\expo{1/\ln\pars{x}} \over x^{1/5}\,\,\bracks{\vphantom{\large A}\expo{m\pi\ic}\verts{\ln\pars{x}}}^{1/5}}\,\dd x \end{align} Vamos a $\ds{x \equiv \expo{-1/t} \iff t = -\,{1 \over \ln\pars{x}}}$ : \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int_{0}^{1} {\expo{1/\ln\pars{x}} \over x^{1/5}\,\,\bracks{\vphantom{\large A}\ln\pars{x}}^{1/5}}\,\dd x} \\[5mm] = &\ \expo{-m\pi\ic/5}\int_{0}^{\infty} {\expo{-t} \over \expo{-1/\pars{5t}}\,\,t^{-1/5}}\, \pars{\expo{-1/t}\,{1 \over t^{2}}\,\dd t} \\[5mm] = &\ \expo{-m\pi\ic/5}\int_{0}^{\infty}t^{-9/5}\,\, \exp\pars{-t - {4 \over 5}\,t}\,\dd t \\[5mm] = & \expo{-m\pi\ic/5} \bracks{50^{1/5}\,\on{K}_{4/5}\pars{4\root{5} \over 5}} \label{1}\tag{1} \end{align}

donde $\ds{\on{K}_{\nu}}$ es un Función de Bessel modificada . En último resultado es de DLMF .

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Desde $\ds{\quad 50^{1/5}\,\on{K}_{4/5}\pars{4\root{5} \over 5} \approx 0.3740}$ El $\ds{\underline{\mbox{initial integral value}}}$ es $$ \approx 0.302595 + 0.219848\ic $$ cuando $\ds{m = \pm 1}$ además, por supuesto, de otros valores que se derivan de la $\ds{\expo{-m\pi\ic/5}}$ periodicidad.

El resultado final, que coincide con $\ds{\tt Mathematica}$ viene dada por \begin{align} &\bbox[5px,#ffd]{\int_{0}^{1} {\expo{1/\ln\pars{x}} \over x^{1/5}\,\,\bracks{\vphantom{\large A}\ln\pars{x}}^{1/5}}\,\dd x} = \expo{\pi\ic/5} \bracks{50^{1/5}\,\on{K}_{4/5}\pars{4\root{5} \over 5}} \\[5mm] = & \pars{{1 + \root{5} \over 4} + \root{5 - \root{5} \over 8}\ic}50^{1/5} \,\on{K}_{4/5}\pars{4\root{5} \over 5} \\[5mm] \approx &\ \bbx{0.302595 + 0.219848\,\ic} \\ & \end{align}