Demostrar el mapa de proyección $T$ en un subespacio es lineal, satisface $T^2 = T$ y $\operatorname{range}(I - T) = \operatorname{null} T$ .

Question

Supongamos que $U$ y $W$ son subespacios de $V$ satisfaciendo $V = U \oplus W$ . Demostrar que $$T : V = U\oplus W \to U : v = u + w \mapsto u$$ es un mapa lineal que satisface $T^2=T$ y $\operatorname{range}(IT) = \operatorname{null}T.$

Ya he utilizado el método de la suma directa y el teorema de la nulidad de rango, pero no funciona.

Answer 1

$T(u+w)=u=u+0$ así que $T(T(u+w))=T(u+0)=u=T(u+w)$ así que $T^{2}=T$ .

$T(u+w)=0$ si $u=0$ si $u+w \in W$ si $u+w \in (I-T)(V)$ desde $(I-T)(V)=\{(u+w)-u=w: u \in U, w \in W\}=W$ .