¿Cuáles son las técnicas para hallar la suma hasta el infinito de una serie?

Question

Dada una serie, ¿cuáles son las técnicas para hallar una fórmula que sume la serie hasta el infinito?

Sólo conozco el método de multiplicar la serie por un factor y luego tomar su diferencia (como aquí ). Pero hoy he descubierto que también podemos intentar encontrar dicha fórmula por diferenciación (ver respuesta a este pregunta).

Por lo tanto, me preguntaba qué otras técnicas existen y si hay algún libro o recurso en línea que pueda leer para comprender la lógica que hay detrás de ellas.

Answer 1

Existen muchas técnicas, pero desgraciadamente no hay ningún método general que garantice el éxito, de ahí la dificultad (quizá imposibilidad) de encontrar cosas como una fórmula cerrada para $\zeta(3)$ .

Las técnicas que recuerdo haber utilizado en el pasado incluyen:

• Uso de expansiones de series de potencias conocidas (incluidas las series geométricas)

• Diferenciar o integrar series de potencias

• Utilizando el análisis complejo (buscar la suma de series utilizando residuos) como en esta pregunta

• expansiones de Fourier, incluido el teorema de Parseval, como en esta pregunta

Sin embargo, no hay ningún método que funcione siempre, por lo que hay que practicar mucho para adquirir experiencia.

Estoy seguro de que otros podrán sugerir libros más modernos, pero uno que tengo es:

Konrad Knopp - " Teoría y aplicación de las series infinitas " (edición Dover) que tiene todo un capítulo sobre expresiones cerradas y numéricas para sumas de series.