¿Cómo hallar la frecuencia angular de un péndulo simple mediante el método de thus?

Question

Estoy intentando deducir una ecuación para la frecuencia angular de un péndulo simple.

Dado que el par de torsión en el bob sólo se debe a la componente horizontal de mg, puedo decir que,

$$ -mg(\sin\theta) l = \tau$$

$$ = I\frac{d^2\theta}{dt^2} \implies \frac{-g\sin\theta}{l}= \frac{d^2\theta}{dt^2} $$ $$ since, $$$$I = ml^2 $$

Estoy atrapado aquí. ¿Cómo puedo alcanzar la velocidad angular desde aquí? (Nota: Soy nuevo en esto. Sólo tengo una idea básica con respecto a esto (las matemáticas, quiero decir). Por favor, no sea tan duro conmigo.

Answer 1

Como dices que eres nuevo en esto, mi respuesta será bastante básica.

Fórmula general de la velocidad angular de un péndulo simple no es sencilla de derivar en absoluto. Sin embargo, es posible derivar su frecuencia angular utilizando la fórmula aproximación de ángulo pequeño . En esta aproximación, el ángulo $\theta$ (en radianes) es muy pequeño $$\theta \ll 1 \implies \sin \theta \approx \theta.$$

En este caso, la ecuación diferencial se convierte en: $$\frac{\text{d}^2\theta}{\text{d} t^2} = - \frac{g}{l}\, \sin(\theta) \approx - \frac{g}{l}\ \theta.\label{1} \tag{1}$$

Esto no es más que una reescritura de una ecuación muy conocida (¿quizá la más conocida de la Física?), la de Movimiento armónico simple :

$$\frac{\text{d}^2 x}{\text{d} t^2} = - \omega^2 x$$

Existen muchos métodos para demostrar que la solución general de esta ecuación puede escribirse en términos de pecados y cosenos como $$x(t) = A \sin(\omega t) + B \cos(\omega t).$$ (Puedes introducir esta solución en la ecuación anterior y comprobar que efectivamente satisface la ecuación. Ahora puedes ver que la cantidad que definí como $\omega$ representa la frecuencia angular. Ahora les dejo que examinen la ecuación ( \ref {1}) y averiguar cuál es la frecuencia angular.