Mapa dual y mapa adjunto

Question

Sea $X,Y$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb C$

Sea $B ,B_1$ sea una base ortonormal de $X,Y$ respectivamente Y $B_1^*,B_2^*$ sea la base del espacio dual $X^*,Y^*$ $$\begin{array}{c} Y & \xrightarrow{A^\dagger} & X \\ I_Y \downarrow ~&& ~~~~\downarrow I_X \\ Y^* & \xrightarrow{A^*} & X^* \end{array}$$ Tal que el diagrama conmuta Ahora, la matriz del mapa dual es la transpuesta de la matriz de $A$ . Pero la matriz de la matriz adjunta es la transpuesta conjugada .

Alguien podría explicarme por qué ocurre esto. ¿Por qué una matriz es transpuesta y otra es transpuesta conjugada?

Answer 1

Sea $X$ tienen producto interior $\langle -, - \rangle: X \times X \to \mathbb{C}$ . Supondré que el producto interior es antilineal en su primer argumento y lineal en su segundo argumento, por lo que $\langle \lambda x_1, \mu x_2 \rangle = \overline{\lambda} \mu \langle x_1, x_2 \rangle$ .

A continuación, el mapa $\phi_X: X \to X^*$ dado por $x \mapsto \langle x, - \rangle$ no puede representarse mediante una matriz, ya que no es un mapa lineal, lo que podemos comprobar observando $(\lambda x) \mapsto \langle \lambda x, - \rangle = \overline{\lambda} \langle x, - \rangle$ . Si $\phi_X(x) = f$ entonces $\phi_x(\lambda f) = \overline{\lambda} \phi_x(f)$ .

Si quisiera escribir una "matriz" para $\phi_X$ entonces tendrías que asegurarte de conjugar complejamente todas las entradas antes de enviarlas a través de la matriz. (¡Deberías averiguar por qué esto soluciona el problema!). También restaura la conmutatividad del diagrama.