Que es más grande de lo $\sqrt[99]{99!}$ o $\sqrt[100]{100!}$

Question

Que es más grande $\sqrt[99]{99!}$ o $\sqrt[100]{100!}$

Sé que es el $\sqrt[100]{100!}$

pero, ¿hay una fórmula para averiguar esto en lugar de hacerlo todo a mano?

Answer 1

Observe que $\sqrt[99]{99!}$ es la media geométrica de todos los enteros de 1 a 99, mientras que $\sqrt[100]{100!}$ es la media geométrica de los números enteros y 100. ¿Qué sucede con una media de al incluir un elemento más que es más grande que todos los anteriores?

Answer 2

Si usted trae tanto a la $99*100$ de potencia, se obtiene los dos números$$(99!)^{100},(100!)^{99}=(99!)^{99}100^{99}$$ So dividing out the common factor we want to compare $$99!,100^{99}$$ se debe tener claro que es más grande.

Answer 3

El logaritmo de $\sqrt[99]{99!}$$\frac{1}{99}\log 99!=\frac{1}{99}\sum_{i=1}^{99}\log i$. Es decir, es la media de los logaritmos de números enteros de $1$$99$. Del mismo modo, el logaritmo de la $\sqrt[100]{100!}$ es el promedio de los logaritmos de números enteros de $1$$100$. Claramente el último promedio es mayor; por lo $\sqrt[100]{100!}$ es más grande también.

Answer 4

Deje $x=\sqrt[99]{99!}$$y=\sqrt[100]{100!}$, luego \begin{align} \frac{x}{y}&=\frac{\sqrt[99]{99!}}{\sqrt[100]{100!}}\\ &=\frac{(99!)^\frac{1}{99}}{(100!)^\frac{1}{100}}\\ &=\frac{(99!)^{\frac{1}{100}+\frac{1}{9900}}}{(100!)^\frac{1}{100}}\\ &=\frac{(99!)^{\frac{1}{100}}(99!)^{\frac{1}{9900}}}{(100!)^\frac{1}{100}}\\ &=(99!)^{\frac{1}{9900}}\left(\frac{99!}{100!}\right)^\frac{1}{100}\\ &=(99!)^{\frac{1}{9900}}\left(\frac{99!}{99!\cdot100}\right)^\frac{1}{100}\\ &=\frac{(99!)^{\frac{1}{9900}}}{100^\frac{1}{100}}\\ \left(\frac{x}{y}\right)^{9900}&=\left(\frac{(99!)^{\frac{1}{9900}}}{100^\frac{1}{100}}\right)^{9900}\\ &=\frac{99!}{100^{99}}\\ &=\frac{99\cdot98\cdot97\cdots1}{100\cdot100\cdot100\cdots100}\\ \frac{x}{y}&=\sqrt[9900]{\frac{99\cdot98\cdot97\cdots1}{100\cdot100\cdot100\cdots100}} \end{align} Es, claramente,$y>x$, por lo tanto $\sqrt[100]{100!}>\sqrt[99]{99!}$.

Answer 5

Sugerencia: Deje $x=\sqrt[99]{99!}$$y=\sqrt[100]{100!}$. A continuación,$x^{99}=99!$$y^{100}=100!=100\cdot 99!=100\cdot x^{99}$. ¿Qué es un límite superior en $x$?