Campo formalmente real con dos órdenes diferentes

Question

Si $F$ es un campo formalmente real, entonces existe una relación de orden total en $F$ que es compatible con su suma y producto, pero no es necesario que sea único.

a) ¿Cómo de diferentes pueden ser dos relaciones de orden (compatibles con el campo) sobre el mismo campo formalmente real, en el sentido de no compartir propiedades importantes (por ejemplo, ser arquimedianas)? ¿Puede dar ejemplos concretos?

b) ¿Puede utilizarse la interrelación entre dos relaciones de orden diferentes sobre el mismo campo formalmente real para demostrar algún resultado interesante?

Answer 1

Un ejemplo sencillo, $F = \mathbb Q(X)$ . Para cualquier número real trascendental $\alpha$ podemos pedir $F$ dejar $X=\alpha$ . También podemos encargar $F$ dejando $X$ superan todos los elementos de $\mathbb Q$ . O con $0 < X < r$ para todos los racionales positivos $r$ . También hay otros.

Answer 2

Puedo ponerte un ejemplo. Para el lema de zeromello en cada conjunto es posible imponer un buen orden (tal que cada subconjunto tiene un elemento mínimo) que es muy diferente del orden estándar en R. Así que creo que la respuesta al punto a es sí, el orden puede tener propiedades muy diferentes.