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Encontrar todos los números enteros positivos $x$ y $y$ para lo cual $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{p}.$

Sea $p$ sea un número primo. Encuentra todos los enteros positivos $x$ y $y$ para lo cual $$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{p}.$$

Multiplicando la expresión dada por $xy$ resulta en $y+x = \dfrac{xy}{p} \Rightarrow p(x+y) = xy$ .

Me sugirieron llevar esto al formulario $(x-p)(y-p) = p^2$ lo que me parece un poco raro ya que normalmente con este tipo de preguntas encontraría un sistema que me llevaría a encontrar la correcta $(x, y)$ pero con el término $p^2$ no es algo que haya visto antes.

¿Es la idea detrás de esto para que yo quiera tener una expresión donde tengo algo de la forma $(x-k)(y-n) = p$ y podría deducir de aquí que $(x-k) = 1$ , $(y-n) = p$ o al revés, ya que $p$ sólo puede tener los factores $1$ y $p$ ?

10voto

Peter Hession Puntos 186

Una vez que llegue a $(x-p)(y-p)=p^2$ se utiliza la factorización única de enteros para afirmar que o bien $x-p=y-p=p$ que conduce a $x=y=2p$ o $x-p=p^2$ y $y-p=1$ que conduce a $x=p^2+p$ y $y=p+1$

El caso $x-p=-p^2$ y $y-p=-1$ debe excluirse porque $x$ y $y$ se suponen enteros positivos

7voto

SiongthyeGoh Puntos 61

$$p(x+y)=xy$$

$$p^2=xy-px-py+p^2$$

$$p^2=(x-p)(y-p)$$

Una vez alcanzado este formulario, podemos considerar algunos casos:

Caso $1$ : $x-p = p$ , $y-p=p$ . Es decir $x=2p$ y $y=2p$ .

Caso $2$ : $x-p=-p$ , $y-p=-p$ lo que significa $x=0$ que no es lo que queremos.

Caso $3$ : $x-p=p^2$ , $y-p=1$ . $x=p(p+1)$ , $y=p+1$ .

Caso $4$ : $x-p=1$ , $y-p=p^2$ . Similar al caso $3$ .

Caso $5$ : $x-p=-p^2$ de los cuales $x <0$ que no es lo que queremos.

Del mismo modo, si $y-p=-p^2$ .

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