En esta pregunta reciente Iota se preguntaba si, dado un grupo finito GG y dos subgrupos normales isomorfos HH y KK se deduce que G/HG/H y G/KG/K son isomorfas. Esto no es cierto (un ejemplo sencillo dado por G=Z2⊕Z4 con H=⟨(1,0)⟩ y K=⟨(0,2)⟩ ). Una condición suficiente para garantizar cocientes isomórficos es la existencia de un automorfismo φ∈Aut(G) tal que φ(H)=K .
También se puede tener G/H≅G/K pero H y K no es isomorfo. Por ejemplo, tomemos de nuevo G=Z2⊕Z4 y tomar H=Z2⊕⟨(0,2)⟩ , isomorfo al de Klein 4 -grupo, y K={0}⊕Z4 . Entonces G/H≅G/K≅Z2 .
Y por supuesto, es trivial tener H≅K y G/H≅G/K .
Ahora, esta es la pregunta:
Pregunta. ¿Podemos tener un grupo finito G , subgrupos normales H y K que son isomorfos como grupos, G/H isomorfo a G/K pero no φ∈Aut(G) tal que φ(H)=K ?
No es difícil encontrar ejemplos con infinidad de G . Por ejemplo, tome G=Z2⊕(∞⨁i=1Z4), dejar H=2G y que K sea el subgrupo generado por H y el generador del factor cíclico Z2 . Entonces ambos H y K son isomorfas a una suma directa de un número contable de copias de Z2 al igual que los cocientes G/H y G/K . Pero H es un subgrupo verbal, por tanto totalmente invariante, por lo que cualquier automorfismo de G mapas H a H por lo que no existe ningún φ∈Aut(G) tal que φ(H)=K .
¿Alguien tiene un ejemplo con un número finito de G ? Tenga en cuenta que no estoy exigiendo que φ sea una elevación del isomorfismo dado de G/H con G/K .
