En esta pregunta reciente Iota se preguntaba si, dado un grupo finito $G$ y dos subgrupos normales isomorfos $H$ y $K$ se deduce que $G/H$ y $G/K$ son isomorfas. Esto no es cierto (un ejemplo sencillo dado por $G=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$ con $H=\langle (1,0)\rangle$ y $K=\langle (0,2)\rangle$ ). Una condición suficiente para garantizar cocientes isomórficos es la existencia de un automorfismo $\varphi\in\mathrm{Aut}(G)$ tal que $\varphi(H)=K$ .
También se puede tener $G/H\cong G/K$ pero $H$ y $K$ no es isomorfo. Por ejemplo, tomemos de nuevo $G=\mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_4$ y tomar $H=\mathbb{Z}_2\oplus\langle (0,2)\rangle$ , isomorfo al de Klein $4$ -grupo, y $K=\{0\}\oplus\mathbb{Z}_4$ . Entonces $G/H\cong G/K\cong \mathbb{Z}_2$ .
Y por supuesto, es trivial tener $H\cong K$ y $G/H\cong G/K$ .
Ahora, esta es la pregunta:
Pregunta. ¿Podemos tener un grupo finito $G$ , subgrupos normales $H$ y $K$ que son isomorfos como grupos, $G/H$ isomorfo a $G/K$ pero no $\varphi\in\mathrm{Aut}(G)$ tal que $\varphi(H) = K$ ?
No es difícil encontrar ejemplos con infinidad de $G$ . Por ejemplo, tome $$G= \mathbb{Z}_2\oplus \left(\bigoplus_{i=1}^{\infty}\;\mathbb{Z}_4\right),$$ dejar $H=2G$ y que $K$ sea el subgrupo generado por $H$ y el generador del factor cíclico $\mathbb{Z}_2$ . Entonces ambos $H$ y $K$ son isomorfas a una suma directa de un número contable de copias de $\mathbb{Z}_2$ al igual que los cocientes $G/H$ y $G/K$ . Pero $H$ es un subgrupo verbal, por tanto totalmente invariante, por lo que cualquier automorfismo de $G$ mapas $H$ a $H$ por lo que no existe ningún $\varphi\in\mathrm{Aut}(G)$ tal que $\varphi(H)=K$ .
¿Alguien tiene un ejemplo con un número finito de $G$ ? Tenga en cuenta que no estoy exigiendo que $\varphi$ sea una elevación del isomorfismo dado de $G/H$ con $G/K$ .
